(A) Primeiro, vamos mostrar que \( u'_{\lambda}(w) = k - Kw \).
Pelo Corolário 2, temos: \(u'_{\lambda}(w) = \sum_{i=1}^m\lambda_i u'_i(x_i^*)dx_i^*/dw, \quad (1) \)
onde \( x_i^* \) denota o nível ótimo de consumo.
Usando a definição da função utilidade, temos: \( u'_i(x)=1-2b_ix. \quad (2) \)
As condições de primeira ordem (CPO) para o ótimo do problema apresentado no Corolário 2 são dadas por: \( \lambda_iu'_i(x_i^*) = \gamma^*, \quad (3) \)
onde \( \gamma^* \) é o valor do multiplicador de lagrange no ótimo e varia com \( w \).
Substituindo (3) em (1), chegamos a: \( u'_{\lambda}(w) = \sum_{i=1}^m \gamma^* dx_i^*/dw = \gamma^* \), pois \( \sum_{i=1}^m dx_i^* = dw \).
Vamos, então, investigar como \( \gamma^* \) varia em função de \( w \).
Substituindo (2) em (3), dividindo a equação resultante por \( \lambda_i b_i \) de modo a isolar \( x_i^* \) e usar o fato de que \( \sum_{i=1}^m x_i^* = w \), obtemos:
\[
\gamma^*(w) = b/a - (2/a)w, \quad (4)
\] onde \( a = \sum_{i=1}^m (1/(\lambda_i b_i)) \) e \( b = \sum_{i=1}^m (1/b_i) \).
Como \( u'_{\lambda}(w) = \gamma^* \), definindo \( k := b/a \) e \( K := 2/a \), concluímos a prova de que \(u'_{\lambda}(w) = k - Kw\).
Agora, vamos derivar a equação (10).
Usando o Corolário 2 e o resultado anterior, obtemos: \( p=E(Xu'_\lambda(w))=E[X(k-Kw)]=kE(X)-KE(Xw.) \)
Usando a definição de covariância, obtemos:
\[
p=kE(X)-K[cov(X,w)-E(X)E(w)]
\] \[ =(k-KE(w))E(X)-Kcov(X,w). \]
Usando novamente o resultado anterior, obtemos: \( p=E(u'_\lambda(w))E(X)-Kcov(X,w). \)
Definindo \( A:=E(u'_\lambda(w)) \) e \( B:=K \), obtemos a equação (10).
Agora, vamos provar a validade da equação (11).
Conforme visto em sala, todo payoff na fronteira média-variância pertence ao subespaço gerado pelos kernels de valor esperado e de apreçamento. Como os mercados são completos, o kernel de valor esperado ( \(k_e \)) é o payoff livre de risco \( e \) igual a 1 em todos os estados e o kernel de apreçamento (\( k_q \)) é o vetor dos preços dos estados descontados da probabilidade de cada estado. O Corolário 2 mostra que cada coordenada do kernel de apreçamento pode ser dada por \( u'_\lambda(w_s) \), que é uma função afim da dotação agregada \( w_s \), conforme provamos anteriormente. Portanto, a correlação entre o vetor de dotações agregadas \( w \) e \( k_q \) é 1. Logo, o retorno \( R^M \) associado a \( w \) é o retorno do mercado.
Supondo que a fronteira média-variância não seja degenerada num ponto, os vetores de payoff \( k_e \) e \( k_q \) são não-colineares, de modo que a covariância entre eles é nula. Portanto, todo retorno \( R^f \) na fronteira vai ser um ponto na reta gerada por \( R^0 \), retorno associado a um ativo livre de risco, e \( R^M \), podendo ser expresso por:
\[
R^f=R^0+\beta (R^M-R^0) \quad (*).
\]
Além disso, todo retorno \( R^h \) pode ser projetado ortogonalmente de forma única na fronteira, o que significa ser decomposto como um retorno da fronteira mais um erro. Logo:
\[
R^h = R^0+ \beta (R^M-R^0) + \epsilon ,
\] com \( E(\epsilon)=0 \). Assim, temos:
\[
cov(R^h,R^M)=cov(R^0+\beta (R^M-R^0) +\epsilon,R^M) = \beta var(R^M).
\]
Portanto: \( \beta = cov(R^h,R^M)/var(R^M) \).
(B) No caso de mercados incompletos, se o payoff livre de risco mencionado no item anterior não estiver no espaço M gerado pelos vetores-coluna de \( X \), basta considerar a projeção ortogonal de \( e \) em M. De forma análoga, basta considerar a projeção ortogonal em M dos preços dos estados descontados das respectivas probabilidades. O \( R^M\) passa a ser dado pela equação (12). Dessa forma, obtemos vetores \( R^0 \) e \( R^M\) linearmente independentes que geram a fronteira e seguimos a mesma lógica apresentada no item (A) a partir da equação (*).
(C) A resposta para este item pode ser encontrada nos slides da aula referente ao modelo CAPM. Os slides mencionados apresentam o CAPM como um modelo de equilíbrio no qual as preferências dos agentes são representadas por uma função utilidade separável no tempo. Considera-se uma única data futura, a data 1. Na data 1, a utilidade depende do consumo esperado e da variância do consumo, sendo uma função estritamente decrescente da variância. Preferências assim representadas são chamadas de preferências do tipo "média-variância". Sob essas condições, foi apresentado e demonstrado em sala o seguinte teorema: "se todo agente tem preferência do tipo média-variância e é estritamente averso a variância, então, em equilíbrio, o retorno de mercado está na fronteira média-variância". Assim, concluímos o item (C), com as condições que suportam a afirmação feita realçadas em negrito e o CAPM seguindo do teorema apresentado usando um raciocínio análogo ao apresentado no item (A).