Resolver o problema 1.12 do livro Dynamic Asset Price Theory do Darrel Duffie.

Question

Problema 1.12 do livro Dynamic Asset Price Theory do Darrel Duffie formulado na notação apresentada em sala (Curso de Finanças do Daniel Cajueiro):

Suponha que \( (c^1, ..., c^m) \) seja uma alocação estritamente positiva de consumo de equilíbrio, onde \( m \) representa o número de agentes. Para cada agente \( i \), suponha que a utilidade assume a forma de utilidade esperada \( U_i(c) = E(u_i(c)) \). Suponha também que, para cada agente \( i \), existem constantes positivas \( c^{-} \) e \( b_i \) tais que, para todo estado \( s \), temos: \( c_s^i < c^{-} \) e \(u_i(x)=x-b_ix^2 \), para todo \( x\leq c^{-} \).

(A) No contexto do Corolário 2 da Seção E, mostre que \( u'_{\lambda}(w) = k - Kw \) para constantes positivas \( k \) e \( K \). Disso, derive o CAPM
\begin{equation}
p=AE(X)-Bcov(X,w) \quad (10)
\end{equation}
para constantes positivas \(A \) e \(B \), onde \( cov(X,w) \) é o vetor de covariâncias entre os payoffs dos ativos e a dotação agregada.

Suponha, para dada carteira h, que as variáveis abaixo sejam bem definidas:
* retorno \(R^h = X'h/ph \);
* retorno \( R^M \) da carteira \( M \) com payoff \( X'M = w \);
* retorno \( R^0 \) da carteira \( h^0 \) com \( cov(X'h^0, w)=0 \);
* \( \beta_h = cov(R^h,R^M)/var(R^M) \).

O retorno \( R^M\) é chamado retorno de mercado. O retorno \( R^0 \) é chamado o retorno beta-zero e é o retorno do ativo livre de risco, caso exista. Prove a forma "beta" do CAPM
\begin{equation}
E(R^h-R^0)=\beta_hE(R^M-R^0). \quad (11)
\end{equation}

(B) A parte (A) depende da completude dos mercados. Sem essa hipótese, mas assumindo que a alocação de equilíbrio seja estritamente positiva \( (c^1, ..., c^m) \), mostre que a mesma forma beta (11) é aplicável se estendermos a definição do retorno de mercado \( R^M \) para o retorno da carteira que resolve:
\begin{equation}
sup_h corr(R^h,w). \quad (12)
\end{equation}

Para mercados completos, \( corr(R^M, w) = 1 \), de modo que o resultado da parte (A) é um caso especial.

(C) Conforme mencionado, o CAPM se aplica essencialmente sem a hipótese de utilidade esperada quadrática dado que cada agente \( i \) seja estritamente averso à variância. Formalize essa afirmação, fornecendo condições que a suportem.

Answer 1

(A) Primeiro, vamos mostrar que \( u'_{\lambda}(w) = k - Kw \).

Pelo Corolário 2, temos: \(u'_{\lambda}(w) = \sum_{i=1}^m\lambda_i u'_i(x_i^*)dx_i^*/dw, \quad (1) \)
onde \( x_i^* \) denota o nível ótimo de consumo.

Usando a definição da função utilidade, temos: \( u'_i(x)=1-2b_ix. \quad (2) \)

As condições de primeira ordem (CPO) para o ótimo do problema apresentado no Corolário 2 são dadas por: \( \lambda_iu'_i(x_i^*) = \gamma^*, \quad (3) \)
onde \( \gamma^* \) é o valor do multiplicador de lagrange no ótimo e varia com \( w \).

Substituindo (3) em (1), chegamos a: \( u'_{\lambda}(w) = \sum_{i=1}^m \gamma^* dx_i^*/dw = \gamma^* \), pois \( \sum_{i=1}^m dx_i^* = dw \).

Vamos, então, investigar como \( \gamma^* \) varia em função de \( w \).

Substituindo (2) em (3), dividindo a equação resultante por \( \lambda_i b_i \) de modo a isolar \( x_i^* \) e usar o fato de que \( \sum_{i=1}^m x_i^* = w \), obtemos:
\[ \gamma^*(w) = b/a - (2/a)w, \quad (4) \] onde \( a = \sum_{i=1}^m (1/(\lambda_i b_i)) \) e \( b = \sum_{i=1}^m (1/b_i) \).

Como \( u'_{\lambda}(w) = \gamma^* \), definindo \( k := b/a \) e \( K := 2/a \), concluímos a prova de que \(u'_{\lambda}(w) = k - Kw\).

Agora, vamos derivar a equação (10).

Usando o Corolário 2 e o resultado anterior, obtemos: \( p=E(Xu'_\lambda(w))=E[X(k-Kw)]=kE(X)-KE(Xw.) \)
Usando a definição de covariância, obtemos:
\[ p=kE(X)-K[cov(X,w)-E(X)E(w)] \] \[ =(k-KE(w))E(X)-Kcov(X,w). \]
Usando novamente o resultado anterior, obtemos: \( p=E(u'_\lambda(w))E(X)-Kcov(X,w). \)

Definindo \( A:=E(u'_\lambda(w)) \) e \( B:=K \), obtemos a equação (10).

Agora, vamos provar a validade da equação (11).

Conforme visto em sala, todo payoff na fronteira média-variância pertence ao subespaço gerado pelos kernels de valor esperado e de apreçamento. Como os mercados são completos, o kernel de valor esperado ( \(k_e \)) é o payoff livre de risco \( e \) igual a 1 em todos os estados e o kernel de apreçamento (\( k_q \)) é o vetor dos preços dos estados descontados da probabilidade de cada estado. O Corolário 2 mostra que cada coordenada do kernel de apreçamento pode ser dada por \( u'_\lambda(w_s) \), que é uma função afim da dotação agregada \( w_s \), conforme provamos anteriormente. Portanto, a correlação entre o vetor de dotações agregadas \( w \) e \( k_q \) é 1. Logo, o retorno \( R^M \) associado a \( w \) é o retorno do mercado.

Supondo que a fronteira média-variância não seja degenerada num ponto, os vetores de payoff \( k_e \) e \( k_q \) são não-colineares, de modo que a covariância entre eles é nula. Portanto, todo retorno \( R^f \) na fronteira vai ser um ponto na reta gerada por \( R^0 \), retorno associado a um ativo livre de risco, e \( R^M \), podendo ser expresso por:
\[ R^f=R^0+\beta (R^M-R^0) \quad (*). \]
Além disso, todo retorno \( R^h \) pode ser projetado ortogonalmente de forma única na fronteira, o que significa ser decomposto como um retorno da fronteira mais um erro. Logo:
\[ R^h = R^0+ \beta (R^M-R^0) + \epsilon , \] com \( E(\epsilon)=0 \). Assim, temos:
\[ cov(R^h,R^M)=cov(R^0+\beta (R^M-R^0) +\epsilon,R^M) = \beta var(R^M). \]
Portanto: \( \beta = cov(R^h,R^M)/var(R^M) \).

(B) No caso de mercados incompletos, se o payoff livre de risco mencionado no item anterior não estiver no espaço M gerado pelos vetores-coluna de \( X \), basta considerar a projeção ortogonal de \( e \) em M. De forma análoga, basta considerar a projeção ortogonal em M dos preços dos estados descontados das respectivas probabilidades. O \( R^M\) passa a ser dado pela equação (12). Dessa forma, obtemos vetores \( R^0 \) e \( R^M\) linearmente independentes que geram a fronteira e seguimos a mesma lógica apresentada no item (A) a partir da equação (*).

(C) A resposta para este item pode ser encontrada nos slides da aula referente ao modelo CAPM. Os slides mencionados apresentam o CAPM como um modelo de equilíbrio no qual as preferências dos agentes são representadas por uma função utilidade separável no tempo. Considera-se uma única data futura, a data 1. Na data 1, a utilidade depende do consumo esperado e da variância do consumo, sendo uma função estritamente decrescente da variância. Preferências assim representadas são chamadas de preferências do tipo "média-variância". Sob essas condições, foi apresentado e demonstrado em sala o seguinte teorema: "se todo agente tem preferência do tipo média-variância e é estritamente averso a variância, então, em equilíbrio, o retorno de mercado está na fronteira média-variância". Assim, concluímos o item (C), com as condições que suportam a afirmação feita realçadas em negrito e o CAPM seguindo do teorema apresentado usando um raciocínio análogo ao apresentado no item (A).