Podemos resolver este exercício, sem muito esforço, se pensarmos em um simples exercício de uma economia de trocas onde os endowments dos agentes já estão dados e são iguais.
Graficamente podemos pensar a solução[equilíbrio] como o sendo o ponto de tangencia das duas curvas de indiferença desses indivíduos dentro de uma caixa de edgeworth, onde o consumo no período 0 e o consumo no período 1 podem serem vistos como os únicos bens sendo transacionados nessa economia.
Como cada agente tem preferências diferentes pelos bens, explicitadas pelas funções de utilidade dadas pelo enunciado. E fica claro que cada um deles valoriza o consumo em períodos diferentes do tempo, essa valorização diferente implica em taxas marginais de trocas temporais diferentes, o que abre espaço para que eles troquem dotações.
a) Encontrando o equilíbrio
Como já deixamos claro em cima, o equilíbrio acontecerá quando as taxas marginais de substituição dos agentes se igualarem. Portanto precisamos calcular as taxas mg's de cada agente.
- Agente 1 tem a seguinte função utilidade:
U\(^{1}(C_{0}^{1},C_{1}^{1})=2\log(C_{0}^{1})+1\log(C_{1}^{1})\)
A taxa de troca do consumo no tempo, do agente 1, pode ser expressa da seguinte forma:
Tx mg. de substituição entre C0 e C1 =\(\frac{\frac{dU^{2}(C_{0}^{2},C_{1}^{2})}{dC_{1}}}{\frac{dU^{2}(C_{0}^{2},C_{1}^{2})}{_{dC_{0}}}}=\frac{\frac{d}{dC_{1}^{2}}1\log(C_{1}^{2})}{\frac{d}{dC_{0}^{2}}2\log(C_{0}^{2})}=\frac{1}{2}\frac{C_{0}^{2}}{C_{1}^{2}}\)
O que significa dizer que o agente 1 valoriza mais o consumo no período 1 do que no período 0, e que o mesmo está disposto a troccar duas unidades de consumo no período 0 em troca de uma unidade no período 1 (subsquente).
Agente 2 tem a seguinte função utilidade:
U\(^{2}(C_{0}^{2},C_{1}^{2})=2\log(C_{0}^{2})+1\log(C_{1}^{2})\)
Tx marginal de subst entre C0 e C1 = \(\frac{\frac{dU^{2}(C_{0}^{2},C_{1}^{2})}{dC_{1}}}{\frac{dU^{2}(C_{0}^{2},C_{1}^{2})}{_{dC_{0}}}}=\frac{\frac{d}{dC_{1}^{2}}1\log(C_{1}^{2})}{\frac{d}{dC_{0}^{2}}2\log(C_{0}^{2})}=\frac{1}{2}\frac{C_{0}^{2}}{C_{1}^{2}}\)
O que significa que o agente 2 valoriza mais o consumo no período 0 e está disposto a trocar duas unidades do consumo no período 1 por uma no período 0.
Como discutirmos no começo da resposta, o equilíbrio ocorre quando as taxas marginais de substituição se igualam:
\(2\frac{C_{0}}{C_{1}}=\frac{1}{2}\frac{C_{0}^{2}}{C_{1}^{2}}\)
b) O motivo de ocorrerem trocas, como já discutimos acima vem da valoração diferente de cada período de tempo que os indivíduos fazem e como eles trocam em taxas diferentes, existe um espaço para que troquem entre si e encontrem um equilíbrio mutuamente vantajoso.