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Qual o equilíbrio em uma economia de trocas, entre dois agentes com a mesma dotação e consumo em dois estados

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perguntada Dez 10, 2017 em Finanças por Victor Candido (21 pontos)  

Considere uma economia de trocas com dois períodos sem incertezas. Existem dois agentes com dotações de 1 unidade de consumo em ambos os períodos. As funções de utilidade dos agentes são dados por:

U\(^{1}(C_{0}^{1},C_{1}^{1})=2\log(C_{0}^{1})+1\log(C_{1}^{1})\)
e
U\(^{2}(C_{0}^{2},C_{1}^{2})=2\log(C_{0}^{2})+1\log(C_{1}^{2})\)

a) Encontre o equilíbrio
b) Quais os motivos que justificam a comercialização de ativos entre os agentes nesse modelo?

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1 Resposta

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respondida Dez 10, 2017 por Victor Candido (21 pontos)  
editado Dez 10, 2017 por Victor Candido

Podemos resolver este exercício, sem muito esforço, se pensarmos em um simples exercício de uma economia de trocas onde os endowments dos agentes já estão dados e são iguais.

Graficamente podemos pensar a solução[equilíbrio] como o sendo o ponto de tangencia das duas curvas de indiferença desses indivíduos dentro de uma caixa de edgeworth, onde o consumo no período 0 e o consumo no período 1 podem serem vistos como os únicos bens sendo transacionados nessa economia.

A imagem será apresentada aqui.

Como cada agente tem preferências diferentes pelos bens, explicitadas pelas funções de utilidade dadas pelo enunciado. E fica claro que cada um deles valoriza o consumo em períodos diferentes do tempo, essa valorização diferente implica em taxas marginais de trocas temporais diferentes, o que abre espaço para que eles troquem dotações.

a) Encontrando o equilíbrio

Como já deixamos claro em cima, o equilíbrio acontecerá quando as taxas marginais de substituição dos agentes se igualarem. Portanto precisamos calcular as taxas mg's de cada agente.

  • Agente 1 tem a seguinte função utilidade:
    U\(^{1}(C_{0}^{1},C_{1}^{1})=2\log(C_{0}^{1})+1\log(C_{1}^{1})\)
    A taxa de troca do consumo no tempo, do agente 1, pode ser expressa da seguinte forma:
    Tx mg. de substituição entre C0 e C1 =\(\frac{\frac{dU^{2}(C_{0}^{2},C_{1}^{2})}{dC_{1}}}{\frac{dU^{2}(C_{0}^{2},C_{1}^{2})}{_{dC_{0}}}}=\frac{\frac{d}{dC_{1}^{2}}1\log(C_{1}^{2})}{\frac{d}{dC_{0}^{2}}2\log(C_{0}^{2})}=\frac{1}{2}\frac{C_{0}^{2}}{C_{1}^{2}}\)
    O que significa dizer que o agente 1 valoriza mais o consumo no período 1 do que no período 0, e que o mesmo está disposto a troccar duas unidades de consumo no período 0 em troca de uma unidade no período 1 (subsquente).
  • Agente 2 tem a seguinte função utilidade:
    U\(^{2}(C_{0}^{2},C_{1}^{2})=2\log(C_{0}^{2})+1\log(C_{1}^{2})\)
    Tx marginal de subst entre C0 e C1 = \(\frac{\frac{dU^{2}(C_{0}^{2},C_{1}^{2})}{dC_{1}}}{\frac{dU^{2}(C_{0}^{2},C_{1}^{2})}{_{dC_{0}}}}=\frac{\frac{d}{dC_{1}^{2}}1\log(C_{1}^{2})}{\frac{d}{dC_{0}^{2}}2\log(C_{0}^{2})}=\frac{1}{2}\frac{C_{0}^{2}}{C_{1}^{2}}\)
    O que significa que o agente 2 valoriza mais o consumo no período 0 e está disposto a trocar duas unidades do consumo no período 1 por uma no período 0.

    Como discutirmos no começo da resposta, o equilíbrio ocorre quando as taxas marginais de substituição se igualam:
    \(2\frac{C_{0}}{C_{1}}=\frac{1}{2}\frac{C_{0}^{2}}{C_{1}^{2}}\)

b) O motivo de ocorrerem trocas, como já discutimos acima vem da valoração diferente de cada período de tempo que os indivíduos fazem e como eles trocam em taxas diferentes, existe um espaço para que troquem entre si e encontrem um equilíbrio mutuamente vantajoso.

comentou Dez 11, 2017 por João Melo (21 pontos)  
Ficou muito boa a resposta Victor, especialmente a ilustração do diagrama de Edgeworth. A única observação que tenho a fazer é que, no enunciado e na solução, as utilidades dos agentes são iguais, em desacordo ao que está no pdf da aula. Percebo que seu resultado final parece estar correto, então talvez você tenha colado o latex para aproveitar o código. Também, a notação da derivada do agente 1 ficou incorreta (o sobrescrito dos consumos).
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