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Mostrar que a união de subespaços vetoriais do mesmo espaço é também um subespaço se, e somente se, um dos subespaços dados está contido no outro.

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perguntada Abr 14 em Matemática por gabriel henrique (6 pontos)  
editado Abr 15 por danielcajueiro
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1 Resposta

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respondida Abr 15 por danielcajueiro (5,356 pontos)  

Sejão \(U\) e \(V\) dois subespaços vetoriais.

Se \(U\) está contido em \(V\), então a união de \(U\) e \(V\) é \(V\), que é um subespaço vetorial. Trivial?

Suponha que nenhum dos subespaços esteja contido no outro. Seja \(A=U-V\), \(B=V-U\) e \(W=U\cup V\). Pegue \(x\in A\) e \(y\in B\) e defina \(z= x + y\). Note que para \(z\) pertencer a \(W\), ele precisa pertencer a \(U\) ou a \(V\) ou a ambos. Mas \(z\) não pertence a \(U\) e \(z\) não pertence a \(V\) . Logo,\(z\) não pertence a \(W\) e a união não é um subespaço.

Veja aqui um exemplo desse caso!

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