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Espaço vetorial de polinômios

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perguntada Abr 28 em Matemática por danielcajueiro (5,261 pontos)  

Seja \(\mathcal{P}_2\) o espaço de polinômios (de grau 2 ou menor que 2) e sejam \(p_1=x^2+x+1\), \(p_2=x+1\), \(p_3=2x^2\) e \(p_4=x^2 +1\) elementos desse espaço.

Marque a alternativa FALSA:

(a) O conjunto de vetores \(\{p_1,p_2,p_4\}\) é uma base para \(\mathcal{P}_2\).

(b) O conjunto de vetores \(\{p_1,p_2,p_3\}\) geram \(\mathcal{P}_2\).

(c) O conjunto de vetores \(\{p_1,p_2,p_4\}\) geram \(\mathcal{P}_2\).

(d) O conjunto de vetores \(\{p_1,p_2,p_3,p_4\}\) é linearmente dependente.

(e) O conjunto de vetores \(\{p_1,p_2,p_4\}\) é linearmente independente.

(f) É possível escrever um dos elementos do conjunto \(\{p_1,p_2,p_3,p_4\}\) como combinação linear dos outros.

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1 Resposta

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respondida Abr 28 por danielcajueiro (5,261 pontos)  

É óbvio que \(\mathcal{P}_2\) tem dimensão 3, pois a base canônica desse espaço tem três vetores.

É fácil checar que \(\{p_1,p_2,p_3\}\) é um conjunto de vetores LD, pois \(p_1=\frac{1}{2}p_3 + p_2\). Se vc acha difícil enxergar essa combinação linear, resolva a equação vetorial que é usada para definir o conceito de vetores LI e LD.

Logo, se esses vetores são LD, eles não podem gerar \(\mathcal{P}_2\), mas apenas um subespaço dele. Portanto, a alternativa (b) é falsa.

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