Um operador \(P: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\), dado por \(P(x)=Ax\), que satisfaz \(A^2=A\) é dito ser uma projeção. Sejam \(\mathcal{N}(P)\) e \(\mathcal{I(P)}\) respectivamente o núcleo e a imagem de \(P\). Seja \(I: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) o operador identidade, isto é, \(I(x)=x\).
(i) \(P(x)=I(x)\) para todo \(x\in \mathcal{I(P)}\).
(ii) Se \(y=(I-P)(x)\) para todo \(x\in \mathbb{R}^{n}\), então \(y\in \mathcal{N}(P)\).
(iii) Quando \(\mathcal{N}(P)\) e \(\mathcal{I(P)}\) são subespaços ortogonais, isto é, todo vetor de \(\mathcal{N}(P)\) é ortogonal a todo vetor de \(\mathcal{I(P)}\), nós temos que para todos vetores \(u,v \in \mathbb{R}^{n}\), então \(\langle u, P(v)\rangle=\langle v, P(u)\rangle=\langle P(u), P(v)\rangle\).