Propriedades do operador projeção

Question

Um operador \(P: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\), dado por \(P(x)=Ax\), que satisfaz \(A^2=A\) é dito ser uma projeção. Sejam \(\mathcal{N}(P)\) e \(\mathcal{I(P)}\) respectivamente o núcleo e a imagem de \(P\). Seja \(I: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) o operador identidade, isto é, \(I(x)=x\).

(i) \(P(x)=I(x)\) para todo \(x\in \mathcal{I(P)}\).

(ii) Se \(y=(I-P)(x)\) para todo \(x\in \mathbb{R}^{n}\), então \(y\in \mathcal{N}(P)\).

(iii) Quando \(\mathcal{N}(P)\) e \(\mathcal{I(P)}\) são subespaços ortogonais, isto é, todo vetor de \(\mathcal{N}(P)\) é ortogonal a todo vetor de \(\mathcal{I(P)}\), nós temos que para todos vetores \(u,v \in \mathbb{R}^{n}\), então \(\langle u, P(v)\rangle=\langle v, P(u)\rangle=\langle P(u), P(v)\rangle\).

Answer 1

(i) Suponha que \(x\in \mathcal{I(P)}\). Logo, existe \(u\) tal que \(x=P(u)\). Logo, \(P(x)=P(P(u))=P(u)=x=Ix\).

(ii) Seja \(y=(I-P)(x)\). Logo, \(P(y)=P((I-P)(x))=(P-PP)x=(P-P)x=0\). Logo, \(y\in \mathcal{N}(P)\).

(iii) Suponha que \(y\in \mathcal{I(P)}\), ou seja, \(y=P(u)\) e \(x\in \mathcal{N}(P)\), ou seja, \(x=(I-P)v\). Suponha que \(x\) e \(y\) são ortogonais, ou seja, o produto interno entre eles é nulo. Portanto, \(\langle P(u), (I-P)v\rangle=0\). Use propriendades de produto interno para concluir que \(\langle P(u), I(v)\rangle=\langle P(u), P(v)\rangle\)