Transformação linear do espaço de polinômios no espaço de matrizes

Question

Seja \(T: \mathcal{P}_4 \rightarrow \mathcal{M}_2\), dada por \(T(p(x))=\left[\begin{array}{cc}
p(1) & p(0)\\
p(0) & p(1)\\
\end{array}\right]\).

(i) O núcleo de \(T\) tem dimensão 2.

(ii) A imagem de \(T\) tem dimensão 3.

(iii) O núcleo de \(T\) é formado por elementos de \(\mathcal{P}_4\) que possuem raízes 0 e 1.

Answer 1

Note que o núcleo é formado pelo conjunto elementos que \(T(p(x))=\left[\begin{array}{cc}
p(1) & p(0)\\
p(0) & p(1)\\
\end{array}\right]=0\).

Ou seja todos os polinômios que zeram em 0 e 1 (ou simplesmente possuem essas raízes). Como encontrar esses polinômios?

Isso já foi discutido aqui :

Os polinômios que zeram em 0 e 1 tem a seguinte forma:

\(P(x)=(x-0)(x-1)(ax^2+bx+c)\), que é fácil verificar que eles geram um subespaço de dimensão 3. Logo, o núcleo de \(T\) tem dimensão 3 e a imagem tem dimensão 2.