Note que o núcleo é formado pelo conjunto elementos que \(T(p(x))=\left[\begin{array}{cc}
p(1) & p(0)\\
p(0) & p(1)\\
\end{array}\right]=0\).
Ou seja todos os polinômios que zeram em 0 e 1 (ou simplesmente possuem essas raízes). Como encontrar esses polinômios?
Isso já foi discutido aqui :
Os polinômios que zeram em 0 e 1 tem a seguinte forma:
\(P(x)=(x-0)(x-1)(ax^2+bx+c)\), que é fácil verificar que eles geram um subespaço de dimensão 3. Logo, o núcleo de \(T\) tem dimensão 3 e a imagem tem dimensão 2.