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Raiz quadrada de uma matriz diagonalizável

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perguntada Abr 28 em Matemática por danielcajueiro (5,356 pontos)  

Seja \(A=\left[\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 0\\
1 & 2 & 1\\
-1 & 0 & 1\\
\end{array}\right]\). Calcule \(\sqrt{A}\), onde \(\sqrt{A}\sqrt{A}=A\).

Dica: \(A\) é diagonalizável.

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1 Resposta

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respondida Abr 28 por danielcajueiro (5,356 pontos)  

Note que se \(A\) é diagonalizável, então

\(A=MDM^{-1}=MD^{1/2}D^{1/2}M^{-1}=MD^{1/2}M^{-1}MD^{1/2}M^{-1}=\sqrt{A}\sqrt{A}\).

Logo, \(\sqrt{A}= MD^{1/2}M^{-1}\).

O cálculo dos autovalores retorna \(\lambda =2\), \(\lambda =2\) e \(\lambda=1\).

Os autovetores associados a \(\lambda =2\) são \((1,0,-1)^\prime\) e \((0,1,0)^\prime\).

O autovetor associado a \(\lambda =1\) é \((0,1,-1)^\prime\)

Logo, \(M=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1\\
-1 & 0 & -1\\
\end{array}\right]\)

e

\(M^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
-1 & 1 & 1\\
1 & 0 & -1\\
\end{array}\right]\)

\(D=M^{-1}AM=\left[\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{array}\right]\).

Logo,
\(\sqrt{D}=\left[\begin{array}{ccc}
\sqrt{2} & 0 & 0\\
0 & \sqrt{2} & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{array}\right]\)

Chegando a

\(\sqrt{A}=\left[\begin{array}{ccc}
\sqrt{2} & 0 & 0\\
\sqrt{2}-1 & \sqrt{2} & \sqrt{2}-1\\
1-\sqrt{2} & 0 & 1\\
\end{array}\right]\)

...