Note que essa questão é bem parecida com essa questão e também essa.
Seja \(s(x)=x^2+2x+1\). De fato, todos os polinômios de \(\mathcal{P}_4\) divisíveis por \(s(x)\) podem ser escritos como \(p(x)=(ax^2+bx+c)(x^2+2x+1)\).
Suponha que \(p, q\in V\). Portanto, \(p(x)=a(x)s(x)\) e \(q(x)=b(x)s(x)\), onde \(a(x),b(x)\) são polinômios quaisquer de grau 2.
Logo, \(\alpha p(x)\) pertence a \(V\) e \(p(x)+q(x)=a(x)s(x)+b(x)s(x)=(a(x)+b(x))s(x)\in V\).
Portanto, \(V\) é subespaço.
Note que a dimensão de \(V\) é 3, pois pode ser escrito pela combinação linear de 3 vetores independentes.