As hipóteses são:
- Economia de trocas
- 2 períodos
- 2 agentes (i=1,2)
- 2 estados da natureza (j=1,2)
- Não existe consumo no período 0
- A função de utilidade e as dotações iniciais são:
\( U^1 (c_1^1, c_2^1) = - \frac{1}{2}\Big((c_1^1)^{-2} + \left ( \frac{12}{37} \right )^3(c_2^1)^{-2}\Big) \) e \( w^1= (1,0)' \)
\( U^2 (c_1^2, c_2^2) = - \frac{1}{2} \Big( \left ( \frac{12}{37} \right )^3(c_1^2)^{-2} + (c_2^2)^{-2} \Big) \) e \( w^2= (0,1)' \)
Para resolver o problema acima para o agente i, onde i=1,2, é preciso maximizar sua utilidade, de modo que:
\( \underset{c_1^i\text{, } c_2^i\text{, }h_1^i\text{, }h_2^i }{max} U^i (c_1^i,c_2^i) \)
s.a.
\( p_1h_1^i + p_2h_2^i \leq 0 \)
\( c_1^i \leq w_1^i + h_1^i \)
\( c_2^i \leq w_2^i + h_2^i \)
\( c_1^i \geq 0 \)
\( c_2^i \geq 0 \)
Onde \( c_j^i\), \( h_j^i\) e \( p_j\) são o consumo, a carteira de ativos e o preço do ativo no estado j, onde j=1,2 e i=1,2 .
Olhando para as funções de utilidade, podemos observar que:
\( \frac{\partial U^1 (c_1^1,c_2^1)} {\partial c_1^1} = \frac{1}{(c_1^1)^3} \text{ e } \frac{\partial U^1 (c_1^1,c_2^1)} {\partial c_2^1} = \frac{12}{37} \frac{1}{(c_2^1)^3}\);
\( \frac{\partial U^2 (c_1^2,c_2^2)} {\partial c_1^2} = \frac{12}{37} \frac{1}{(c_1^2)^3} \text{ e } \frac{\partial U^2 (c_1^2,c_2^2)} {\partial c_2^2} = \frac{1}{(c_2^2)^3}\).
Fica fácil de observar que o valor do consumo ótimo não poderá ser zero. Assim, podemos descartar as soluções de canto e considerar desigualdade estrita nas duas últimas restrições. Além disso, as funções utilidade do problema são estritamente crescentes e desta forma, as restrições de desigualdade serão satisfeitas com igualdade.
Então, o problema de maximização do agente pode ser reescrito como:
\( \underset{c_1^i\text{, } c_2^i\text{, }h_1^i\text{, }h_2^i }{max} U^i (c_1^i,c_2^i) \)
s.a.
\( p_1h_1^i + p_2h_2^i = 0 \)
\( c_1^i = w_1^i + h_1^i \)
\( c_2^i = w_2^i + h_2^i \)
E o Lagrangeano pode ser escrito como:
\( \mathcal{L}( {c_1^i\text{, }c_2^i\text{, }h_1^i\text{, }h_2^i } , \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) = U^i (c_1^i,c_2^i) - \lambda_1( p_1h_1^i + p_2h_2^i ) \)
\( - \lambda_2 ( c_1^i - w_1^i - h_1^i) - \lambda_3( c_2^i - w_2^i - h_2^i ) \)
Resolvendo o problema para o indivíduo 1:
\( \mathcal{L}( {c_1^1\text{, }c_2^1\text{, }h_1^1\text{, }h_2^1 } , \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) = - \frac{1}{2}\Big((c_1^1)^{-2} + \left ( \frac{12}{37} \right )^3(c_2^1)^{-2}\Big) \)
\( - \lambda_1( p_1h_1^1 + p_2h_2^1 ) - \lambda_2 ( c_1^1 - w_1^1 - h_1^1) - \lambda_3( c_2^1 - w_2^1 - h_2^1 ) \)
As CPO's deste problema são:
\( \Big[ \frac{\partial \mathcal{L}} {\partial c_1^1} = 0 \Big] \Longrightarrow \left ( - \frac{1}{2 } \right )(-2) \left ( \frac{1}{c_1^1 } \right )^3 - \lambda_2 = 0 \Longrightarrow \left ( \frac{1}{c_1^1 } \right )^3 = \lambda_2 \) (1)
\( \Big[ \frac{\partial \mathcal{L}} {\partial c_2^1} = 0 \Big] \Longrightarrow \left ( - \frac{1}{2 } \right )(-2) \left ( \frac{12}{37} \right )^3 \left ( \frac{1}{c_2^1 } \right )^3 - \lambda_3 = 0 \Longrightarrow \left ( \frac{12}{37} \right )^3 \left ( \frac{1}{c_2^1 } \right )^3 = \lambda_3 \) (2)
\( \Big[ \frac{\partial \mathcal{L}} {\partial h_1^1} = 0 \Big] \Longrightarrow -\lambda_1p_1 + \lambda_2 = 0 \Longrightarrow \lambda_1p_1 = \lambda_2\) (3)
\( \Big[ \frac{\partial \mathcal{L}} {\partial h_2^1} = 0 \Big] \Longrightarrow - \lambda_1p_2 +\lambda_3 = 0 \Longrightarrow \lambda_1p_2 = \lambda_3 \) (4)
\( \Big[ \frac{\partial \mathcal{L}} {\partial \lambda_1} = 0 \Big] \Longrightarrow -[p_1h_1^1 + p_2h_2^1] = 0 \Longrightarrow p_1h_1^1 + p_2h_2^1 = 0 \) (5)
\( \Big[ \frac{\partial \mathcal{L}} {\partial \lambda_2} = 0 \Big] \Longrightarrow -[c_1^1 - w_1^1 - h_1^1=0] \Longrightarrow c_1^1 = w_1^1 + h_1^1\) (6)
\( \Big[ \frac{\partial \mathcal{L}} {\partial \lambda_3} = 0 \Big] \Longrightarrow -[c_2^1 - w_2^1 - h_2^1=0] \Longrightarrow c_2^1 = w_2^1 + h_2^1 \) (7)
Dividindo (1) pela (2) e (3) pela (4), obtemos \( \frac{\lambda_2} {\lambda_3} \). Igualando os dois resultados e fazendo algumas manipulações, chegamos em (8). A equação (9) vem diretamente de (5). As equações (10) e (11) são as mesmas de (6) e (7), após substituirmos os valores das dotações iniciais (\( w_1^1=1 \text{ e } w_2^1 = 0 \)). Assim, com as 4 equações abaixo, é possível resolver o sistema e encontrar as alocações de equilíbrio:
\( \frac{p_1} {p_2} = \left ( \frac{37}{12} \right )^3 \left ( \frac{c_2^1}{c_1^1 } \right )^3 \Longrightarrow c_2^1 = c_1^1 \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{p_1} {p_2}\right )^{\frac{1}{3}} \) (8)
\( h_2^1 = - \frac{p_1}{p_2} h_1^1 \) (9)
\( c_1^1 = 1 + h_1^1 \) (10)
\( c_2^1 = h_2^1 \) (11)
Agora, substituindo (10) e (11) em (8) chegamos em:
\( c_2^1 = c_1^1 \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{p_1} {p_2}\right )^{\frac{1}{3}} \Longrightarrow h_2^1 = (h_1^1 + 1) \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{p_1} {p_2}\right )^{\frac{1}{3}} \) (12)
Igualando o resultado em (12) com (9), podemos chegar em:
\( h_2^1 = (h_1^1 + 1) \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{p_1} {p_2}\right )^{\frac{1}{3}} = - \frac{p_1}{p_2} h_1^1 \)
\( h_1^1 \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{p_1} {p_2}\right )^{\frac{1}{3}} + \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{p_1} {p_2}\right )^{\frac{1}{3}} = - \frac{p_1}{p_2} h_1^1 \)
\( - \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{p_1} {p_2}\right )^{\frac{1}{3}} = h_1^1 \Big[ \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{p_1} {p_2}\right )^{\frac{1}{3}} + \frac{p_1}{p_2} \Big] \) (13)
Agora, verificando os resultados para os preços de equilíbrio dados no enunciado, temos:
- Resultados para o vetor p = (1,1)'
\( - \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{1} {1}\right )^{\frac{1}{3}} = h_1^1 \Big[ \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{1} {1}\right )^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{1} \Big] \)
\( - \left ( \frac{12}{37} \right ) = h_1^1 \Big[ \left ( \frac{12}{37} \right ) + 1 \Big] \)
\( - \left ( \frac{12}{37} \right ) = h_1^1 \Big[ \left ( \frac{12}{37} \right ) + \left ( \frac{37}{37} \right )\Big] \)
\( - \left ( \frac{12}{37} \right ) = h_1^1 \Big[ \left ( \frac{49}{37} \right ) \Big] \)
\( h_1^1 = - \left ( \frac{12}{49} \right ) \)
Substituindo este resultado para as equações (9), (10) e (11) podemos encontrar as demais alocações de equilíbrio do agente 1 neste vetor de preço:
\( h_2^1 = - \frac{1}{1} \left ( - \frac{12}{49} \right ) = \left ( \frac{12}{49} \right ) \)
\( c_1^1 = 1 - \left ( \frac{12}{49} \right ) = \left ( \frac{49}{49} \right ) - \left ( \frac{12}{49} \right ) = \left ( \frac{37}{49} \right ) \)
\( c_2^1 = h_2^1= \left ( \frac{12}{49} \right ) \)
- Resultados para o vetor p = ((64/27),1)'
\( - \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{(\frac{4}{3})^3} {1}\right )^{\frac{1}{3}} = h_1^1 \Big[ \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{(\frac{4}{3})^3} {1}\right )^{\frac{1}{3}} + \frac{(\frac{4}{3})^3}{1} \Big] \)
\( - \left ( \frac{12}{37} \right ) \Big( \left( \frac{4} {3}\right )^3 \Big)^{\frac{1}{3}} = h_1^1 \Big[ \left ( \frac{12}{37} \right ) \Big( \left( \frac{4} {3}\right )^3 \Big)^{\frac{1}{3}} + \left( \frac{4} {3}\right )^3 \Big] \)
\( - \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{4} {3}\right ) = h_1^1 \Big[ \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{4} {3}\right ) + \left( \frac{4} {3}\right )^3 \Big] \)
\( - \left ( \frac{16}{37} \right ) = h_1^1 \Big[ \left ( \frac{16}{37} \right ) + \left( \frac{64} {27}\right ) \Big] \)
\( - \left ( \frac{16}{37} \right ) = h_1^1 \Big[ \left ( \frac{2800}{37x27} \right ) \Big] \)
\(h_1^1 = - \left ( \frac{16x27}{175x16} \right ) = - \left ( \frac{27}{175} \right ) \)
Substituindo este resultado para as equações (9), (10) e (11) podemos encontrar as demais alocações de equilíbrio do agente 1 neste vetor de preço:
\( h_2^1 = - \left( \frac{4} {3}\right )^3 \left ( - \frac{27}{175} \right ) = \left ( \frac{64}{175} \right ) \)
\( c_1^1 = 1 - \left ( \frac{27}{175} \right ) = \left ( \frac{175}{175} \right ) - \left ( \frac{27}{175} \right ) = \left ( \frac{148}{175} \right ) \)
\( c_2^1 = h_2^1= \left ( \frac{64}{175} \right ) \)
- Resultados para o vetor p = ((27/64),1)'
\( - \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{(\frac{3}{4})^3} {1}\right )^{\frac{1}{3}} = h_1^1 \Big[ \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{(\frac{3}{4})^3} {1}\right )^{\frac{1}{3}} + \frac{(\frac{3}{4})^3}{1} \Big] \)
\( - \left ( \frac{12}{37} \right ) \Big( \left( \frac{3} {4}\right )^3 \Big)^{\frac{1}{3}} = h_1^1 \Big[ \left ( \frac{12}{37} \right ) \Big( \left( \frac{3} {4}\right )^3 \Big)^{\frac{1}{3}} + \left( \frac{3} {4}\right )^3 \Big] \)
\( - \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{3} {4}\right ) = h_1^1 \Big[ \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{3} {4}\right ) + \left( \frac{3} {4}\right )^3 \Big] \)
\( - \left ( \frac{9}{37} \right ) = h_1^1 \Big[ \left ( \frac{9}{37} \right ) + \left( \frac{27} {64}\right ) \Big] \)
\( - \left ( \frac{9}{37} \right ) = h_1^1 \Big[ \left ( \frac{1575}{37x64} \right ) \Big] \)
\(h_1^1 = - \left ( \frac{9x64}{175x9} \right ) = - \left ( \frac{64}{175} \right ) \)
Substituindo este resultado para as equações (9), (10) e (11) podemos encontrar as demais alocações de equilíbrio do agente 1 neste vetor de preço:
\( h_2^1 = - \left( \frac{3} {4}\right )^3 \left ( - \frac{64}{175} \right ) = - \left( \frac{27} {64}\right ) \left ( - \frac{64}{175} \right ) = \left ( \frac{27}{175} \right ) \)
\( c_1^1 = 1 - \left ( \frac{64}{175} \right ) = \left ( \frac{175}{175} \right ) - \left ( \frac{64}{175} \right ) = \left ( \frac{111}{175} \right ) \)
\( c_2^1 = h_2^1= \left ( \frac{27}{175} \right ) \)
Resolvendo o problema para o indivíduo 2:
\( \mathcal{L}( {c_1^2\text{, }c_2^2\text{, }h_1^2\text{, }h_2^2 } , \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) = - \frac{1}{2}\left ( \Big( \frac{12}{37} \right )^3 (c_1^2)^{-2} + (c_2^2)^{-2}\Big) \)
\( - \lambda_1( p_1h_2^1 + p_2h_2^2 ) - \lambda_2 ( c_1^2 - w_1^2 - h_1^2) - \lambda_3( c_2^2 - w_2^2 - h_2^2 ) \)
As CPO's deste problema são:
\( \Big[ \frac{\partial \mathcal{L}} {\partial c_1^2} = 0 \Big] \Longrightarrow \left ( - \frac{1}{2 } \right )(-2) \left ( \frac{12}{37} \right )^3 \left ( \frac{1}{c_1^2 } \right )^3 - \lambda_2 = 0 \Longrightarrow \left ( \frac{12}{37} \right )^3 \left ( \frac{1}{c_1^2 } \right )^3 = \lambda_2 \) (1)
\( \Big[ \frac{\partial \mathcal{L}} {\partial c_2^2} = 0 \Big] \Longrightarrow \left ( - \frac{1}{2 } \right )(-2) \left ( \frac{1}{c_2^2 } \right )^3 - \lambda_3 = 0 \Longrightarrow \left ( \frac{1}{c_2^2 } \right )^3 = \lambda_3 \) (2)
\( \Big[ \frac{\partial \mathcal{L}} {\partial h_1^2} = 0 \Big] \Longrightarrow -\lambda_1p_1 + \lambda_2 = 0 \Longrightarrow \lambda_1p_1 = \lambda_2\) (3)
\( \Big[ \frac{\partial \mathcal{L}} {\partial h_2^2} = 0 \Big] \Longrightarrow - \lambda_1p_2 + \lambda_3 = 0 \Longrightarrow \lambda_1p_2 = \lambda_3 \) (4)
\( \Big[ \frac{\partial \mathcal{L}} {\partial \lambda_1} = 0 \Big] \Longrightarrow -[p_1h_1^2 + p_2h_2^2] = 0 \Longrightarrow p_1h_1^2 + p_2h_2^2 = 0 \) (5)
\( \Big[ \frac{\partial \mathcal{L}} {\partial \lambda_2} = 0 \Big] \Longrightarrow -[c_1^2 - w_1^2 - h_1^2=0] \Longrightarrow c_1^2 = w_1^2 + h_1^2\) (6)
\( \Big[ \frac{\partial \mathcal{L}} {\partial \lambda_3} = 0 \Big] \Longrightarrow -[c_2^2 - w_2^2 - h_2^2=0] \Longrightarrow c_2^2 = w_2^2 + h_2^2 \) (7)
Dividindo (1) pela (2) e (3) pela (4), obtemos \( \frac{\lambda_2} {\lambda_3} \). Igualando os dois resultados e fazendo algumas manipulações, chegamos em (8). A equação (9) vem diretamente de (5). As equações (10) e (11) são as mesmas de (6) e (7), após substituirmos os valores das dotações iniciais (\( w_1^2=0 \text{ e } w_2^2 = 1 \)). Assim, com as 4 equações abaixo, é possível resolver o sistema e encontrar as alocações de equilíbrio:
\( \frac{p_1} {p_2} = \left ( \frac{12}{37} \right )^3 \left ( \frac{c_2^2}{c_1^2 } \right )^3 \Longrightarrow c_2^2 = c_1^2 \left ( \frac{37}{12} \right ) \left( \frac{p_1} {p_2}\right )^{\frac{1}{3}} \) (8)
\( h_2^2 = - \frac{p_1}{p_2} h_1^2 \) (9)
\( c_1^2 = h_1^2 \) (10)
\( c_2^2 = 1+ h_2^2 \) (11)
Agora, substituindo (10) e (11) em (8) chegamos em:
\( c_2^2 = c_1^2 \left ( \frac{37}{12} \right ) \left( \frac{p_1} {p_2}\right )^{\frac{1}{3}} \Longrightarrow (1+h_2^2) = (h_1^2) \left ( \frac{37}{12} \right ) \left( \frac{p_1} {p_2}\right )^{\frac{1}{3}} \)
Igualando o resultado em (12) com (9), podemos chegar em:
\( h_2^2 = h_1^2 \left ( \frac{37}{12} \right ) \left( \frac{p_1} {p_2}\right )^{\frac{1}{3}} - 1 = - \frac{p_1}{p_2} h_1^2 \)
\( h_1^2 \left ( \frac{37}{12} \right ) \left( \frac{p_1} {p_2}\right )^{\frac{1}{3}} + \frac{p_1}{p_2} h_1^2 = 1 \)
\( h_1^2 \Big[ \left ( \frac{37}{12} \right ) \left( \frac{p_1} {p_2}\right )^{\frac{1}{3}} + \frac{p_1}{p_2} \Big] = 1 \) (13)
Agora, verificando os resultados para os preços de equilíbrio dados no enunciado, temos:
- Resultados para o vetor p = (1,1)'
\( h_1^2 \Big[ \left ( \frac{37}{12} \right ) \left( \frac{1} {1}\right )^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{1} \Big] = 1 \)
\( h_1^2 \Big[ \left ( \frac{37}{12} \right ) + \frac{12}{12} \Big] = 1 \)
\( h_1^2 \Big[ \left ( \frac{49}{12} \right ) \Big] = 1 \)
\( h_1^2 = \left ( \frac{12}{49} \right ) \)
Substituindo este resultado para as equações (9), (10) e (11) podemos encontrar as demais alocações de equilíbrio do agente 1 neste vetor de preço:
\( h_2^2 = - \frac{1}{1} \left ( \frac{12}{49} \right ) = - \left ( \frac{12}{49} \right ) \)
\( c_1^2 = h_1^2 = \left ( \frac{12}{49} \right ) \)
\( c_2^2 = 1 + h_2^1= 1 - \left ( \frac{12}{49} \right ) = \left ( \frac{49}{49} \right ) - \left ( \frac{12}{49} \right ) = \left ( \frac{37}{49} \right ) \)
- Resultados para o vetor p = ((64/27),1)'
\( h_1^2 \Big[ \left ( \frac{37}{12} \right ) \left( \frac{(\frac{4}{3})^3} {1}\right )^{\frac{1}{3}} + \left( \frac{(\frac{4}{3})^3} {1}\right ) \Big] = 1 \)
\( h_1^2 \Big[ \left ( \frac{37}{12} \right ) \Big( \left( \frac{4} {3}\right ) \Big)^{\frac{1}{3}} + \Big( \left( \frac{4} {3}\right )^3 \Big) \Big] = 1 \)
\( h_1^2 \Big[ \left ( \frac{37}{12} \right ) \left( \frac{4} {3}\right ) + \Big( \left( \frac{64} {27}\right )^3 \Big) \Big] = 1 \)
\( h_1^2 \Big[ \left ( \frac{37x4}{12x3} \right ) + \Big( \left( \frac{64} {27}\right ) \Big) \Big] = 1 \)
\( h_1^2 \Big[ \left ( \frac{27x37x4 + 64x36}{36x27} \right ) \Big) \Big] = h_1^2 \Big[ \left ( \frac{6300}{972} \right ) \Big) \Big] = 1 \)
\( h_1^2 = \left ( \frac{972}{6300} \right ) = \left ( \frac{36x27}{36x175} \right ) = \left ( \frac{27}{175} \right )\)
\( h_1^2 = \left ( \frac{27}{175} \right )\)
Substituindo este resultado para as equações (9), (10) e (11) podemos encontrar as demais alocações de equilíbrio do agente 1 neste vetor de preço:
\( h_2^2 = - \left ( \frac{4}{3}\right )^3 \left ( \frac{27}{175} \right ) = - \left ( \frac{64}{27}\right ) \left ( \frac{27}{175} \right ) = - \left ( \frac{64}{175} \right ) \)
\( c_1^2 = h_1^2 = \left ( \frac{27}{175} \right ) \)
\( c_2^2 = 1 + h_2^1= 1 - \left ( \frac{64}{175} \right ) = \left ( \frac{175}{175} \right ) - \left ( \frac{64}{175} \right ) = \left ( \frac{111}{175} \right ) \)
- Resultados para o vetor p = ((27/64),1)'
\( h_1^2 \Big[ \left ( \frac{37}{12} \right ) \left( \frac{(\frac{3}{4})^3} {1}\right )^{\frac{1}{3}} + \left( \frac{(\frac{3}{4})^3} {1}\right ) \Big] = 1 \)
\( h_1^2 \Big[ \left ( \frac{37}{12} \right ) \Big( \left( \frac{3} {4}\right ) \Big)^{\frac{1}{3}} + \Big( \left( \frac{3} {4}\right )^3 \Big) \Big] = 1 \)
\( h_1^2 \Big[ \left ( \frac{37}{12} \right ) \left( \frac{3} {4}\right ) + \Big( \left( \frac{27} {64}\right )^3 \Big) \Big] = 1 \)
\( h_1^2 \Big[ \left ( \frac{37x3}{12x4} \right ) + \Big( \left( \frac{27} {64}\right ) \Big) \Big] = 1 \)
\( h_1^2 \Big[ \left ( \frac{64x37x3 + 27x48}{48x64} \right ) \Big) \Big] = h_1^2 \Big[ \left ( \frac{8400}{3072} \right ) \Big) \Big] = 1 \)
\( h_1^2 = \left ( \frac{3072}{8400} \right ) = \left ( \frac{64x48}{48x175} \right ) = \left ( \frac{64}{175} \right )\)
\( h_1^2 = \left ( \frac{64}{175} \right )\)
Substituindo este resultado para as equações (9), (10) e (11) podemos encontrar as demais alocações de equilíbrio do agente 1 neste vetor de preço:
\( h_2^2 = - \left ( \frac{3}{4}\right )^3 \left ( \frac{64}{175} \right ) = - \left ( \frac{27}{64}\right ) \left ( \frac{64}{175} \right ) = - \left ( \frac{27}{175} \right ) \)
\( c_1^2 = h_1^2 = \left ( \frac{64}{175} \right ) \)
\( c_2^2 = 1 + h_2^1= 1 - \left ( \frac{27}{175} \right ) = \left ( \frac{175}{175} \right ) - \left ( \frac{27}{175} \right ) = \left ( \frac{148}{175} \right ) \)
Equilíbrio:
Um equilíbrio no mercado de ativos consiste em um vetor de precos de ativos p, uma alocacão \( (h^i)\) e uma alocacão de consumo \( (c_j^i) \) tal que sejam soluções do problema de escolha dos agentes nos precos p. Assim, no equilíbrio teremos:
\( \sum_{i}h^i = 0 \Longrightarrow h_1^1 + h_1^2 = 0 \) e \( h_1^2 + h_2^2 = 0\)
\( \sum_{i}c_1^i \leq \sum_{i}w_1^i \Longrightarrow c_1^1 + c_1^2 \leq w_1^1 + w_1^2 =1 \)
\( \sum_{i}c_2^i \leq \sum_{i}w_2^i \Longrightarrow c_2^1 + c_2^2 \leq w_2^1 + w_2^2 = 1 \)
Conferindo estes resultado para as alocações de equilíbrio de cada preço:
- Resultados para o vetor p = (1,1)'
\( h_1^1 + h_1^2 = 0 \Longrightarrow - \left ( \frac{12}{49} \right ) + \left ( \frac{12}{49} \right ) = 0 \)
\( h_1^2 + h_2^2 = 0 \Longrightarrow \left ( \frac{12}{49} \right ) - \left ( \frac{12}{49} \right ) = 0 \)
\( c_1^1 + c_1^2 \leq 1 \Longrightarrow \left ( \frac{37}{49} \right ) + \left ( \frac{12}{49} \right ) = \left ( \frac{64}{64} \right ) =1\)
\( c_2^1 + c_2^2 \leq 1 \Longrightarrow \left ( \frac{12}{49} \right ) + \left ( \frac{37}{49} \right ) = \left ( \frac{64}{64} \right ) =1 \)
- Resultados para o vetor p = ((64/27),1)'
\( h_1^1 + h_1^2 = 0 \Longrightarrow - \left ( \frac{27}{175} \right ) + \left ( \frac{27}{175} \right ) =0\)
\( h_1^2 + h_2^2 = 0 \Longrightarrow \left ( \frac{64}{175} \right ) - \left ( \frac{64}{175} \right )=0 \)
\( c_1^1 + c_1^2 \leq 1 \Longrightarrow \left ( \frac{148}{175} \right ) + \left ( \frac{27}{175} \right ) = \left ( \frac{175}{175} \right ) =1 \)
\( c_2^1 + c_2^2 \leq 1 \Longrightarrow \left ( \frac{64}{175} \right ) + \left ( \frac{111}{175} \right ) = \left ( \frac{175}{175} \right ) =1 \)
- Resultados para o vetor p = ((27/64),1)'
\( h_1^1 + h_1^2 = 0 \Longrightarrow - \left ( \frac{64}{175} \right ) + \left ( \frac{64}{175} \right )= 0 \)
\( h_1^2 + h_2^2 = 0 \Longrightarrow \left ( \frac{27}{175} \right ) - \left ( \frac{27}{175} \right ) = 0 \)
\( c_1^1 + c_1^2 \leq 1 \Longrightarrow \left ( \frac{111}{175} \right ) + \left ( \frac{64}{175} \right ) = \left ( \frac{175}{175} \right ) =1 \)
\( c_2^1 + c_2^2 \leq 1 \Longrightarrow \left ( \frac{27}{175} \right ) + \left ( \frac{148}{175} \right ) = \left ( \frac{175}{175} \right ) =1 \)
Assim, é possível ver que os 3 preços satisfazem as condições de equilíbrio e limpam o mercado.