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Qual o equilíbrio e o consumo de uma economia de trocas com dois bens e dois agentes?

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perguntada Ago 23 em Finanças por Pedro Campelo (31 pontos)  
editado Set 4 por Pedro Campelo

Considere uma economia de trocas com dois bens e dois
agentes. As funcões de utilidade e as dotacões iniciais são dadas
por:

\( U^1 (c_1^1, c_2^1) = - \frac{1}{2}\Big((c_1^1)^{-2} + \left ( \frac{12}{37} \right )^3(c_2^1)^{-2}\Big) \) e \( w^1= (1,0)' \)

\( U^2 (c_1^2, c_2^2) = - \frac{1}{2} \Big( \left ( \frac{12}{37} \right )^3(c_1^2)^{-2} + (c_2^2)^{-2} \Big) \) e \( w^2= (0,1)' \)

Mostre que \( p^*=(1,1)' \text{ , } p^{**}=\big( \left (\frac{4}{3} \right )^3,1\big)' \text{ e } p^{***}=\big( \left (\frac{3}{4} \right )^3,1\big)'\) são os preços de equilíbrio. Determine o consumo dos agentes em cada caso.

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1 Resposta

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respondida Set 4 por Pedro Campelo (31 pontos)  
editado 23 horas atrás por Pedro Campelo

As hipóteses são:

  • Economia de trocas
  • 2 períodos
  • 2 agentes (i=1,2)
  • 2 estados da natureza (j=1,2)
  • Não existe consumo no período 0
  • A função de utilidade e as dotações iniciais são:

\( U^1 (c_1^1, c_2^1) = - \frac{1}{2}\Big((c_1^1)^{-2} + \left ( \frac{12}{37} \right )^3(c_2^1)^{-2}\Big) \) e \( w^1= (1,0)' \)

\( U^2 (c_1^2, c_2^2) = - \frac{1}{2} \Big( \left ( \frac{12}{37} \right )^3(c_1^2)^{-2} + (c_2^2)^{-2} \Big) \) e \( w^2= (0,1)' \)

Para resolver o problema acima para o agente i, onde i=1,2, é preciso maximizar sua utilidade, de modo que:

\( \underset{c_1^i\text{, } c_2^i\text{, }h_1^i\text{, }h_2^i }{max} U^i (c_1^i,c_2^i) \)

s.a.

\( p_1h_1^i + p_2h_2^i \leq 0 \)
\( c_1^i \leq w_1^i + h_1^i \)
\( c_2^i \leq w_2^i + h_2^i \)
\( c_1^i \geq 0 \)
\( c_1^i \geq 0 \)

Onde \( c_j^i\), \( h_j^i\) e \( p_j\) são o consumo, a carteira de ativos e o preço do ativo no estado j, onde j=1,2 e i=1,2 .

Olhando para as funções de utilidade, podemos observar que:

\( \frac{\partial U^1 (c_1^1,c_2^1)} {\partial c_1^1} = \frac{1}{(c_1^1)^3} \text{ e } \frac{\partial U^1 (c_1^1,c_2^1)} {\partial c_2^1} = \frac{12}{37} \frac{1}{(c_2^1)^3}\);

\( \frac{\partial U^2 (c_1^2,c_2^2)} {\partial c_1^2} = \frac{12}{37} \frac{1}{(c_1^2)^3} \text{ e } \frac{\partial U^2 (c_1^2,c_2^2)} {\partial c_2^2} = \frac{1}{(c_2^2)^3}\).

Fica fácil de observar que o valor do consumo ótimo não poderá ser zero. Assim, podemos descartar as soluções de canto e considerar desigualdade estrita nas duas últimas restrições. Além disso, as funções utilidade do problema são estritamente crescentes e desta forma, as restrições de desigualdade serão satisfeitas com igualdade.

Então, o problema de maximização do agente pode ser reescrito como:

\( \underset{c_1^i\text{, } c_2^i\text{, }h_1^i\text{, }h_2^i }{max} U^i (c_1^i,c_2^i) \)

s.a.

\( p_1h_1^i + p_2h_2^i = 0 \)
\( c_1^i = w_1^i + h_1^i \)
\( c_2^i = w_2^i + h_2^i \)

E o Lagrangeano pode ser escrito como:

\( \mathcal{L}( {c_1^i\text{, }c_2^i\text{, }h_1^i\text{, }h_2^i } , \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) = U^i (c_1^i,c_2^i) - \lambda_1( p_1h_1^i + p_2h_2^i ) \)
\( - \lambda_2 ( c_1^i - w_1^i - h_1^i) - \lambda_3( c_2^i - w_2^i - h_2^i ) \)

Resolvendo o problema para o indivíduo 1:

\( \mathcal{L}( {c_1^1\text{, }c_2^1\text{, }h_1^1\text{, }h_2^1 } , \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) = - \frac{1}{2}\Big((c_1^1)^{-2} + \left ( \frac{12}{37} \right )^3(c_2^1)^{-2}\Big) \)
\( - \lambda_1( p_1h_1^1 + p_2h_2^1 ) - \lambda_2 ( c_1^1 - w_1^1 - h_1^1) - \lambda_3( c_2^1 - w_2^1 - h_2^1 ) \)

As CPO's deste problema são:

\( \Big[ \frac{\partial \mathcal{L}} {\partial c_1^1} = 0 \Big] \Longrightarrow \left ( - \frac{1}{2 } \right )(-2) \left ( \frac{1}{c_1^1 } \right )^3 - \lambda_2 = 0 \Longrightarrow \left ( \frac{1}{c_1^1 } \right )^3 = \lambda_2 \) (1)

\( \Big[ \frac{\partial \mathcal{L}} {\partial c_2^1} = 0 \Big] \Longrightarrow \left ( - \frac{1}{2 } \right )(-2) \left ( \frac{12}{37} \right )^3 \left ( \frac{1}{c_2^1 } \right )^3 - \lambda_3 = 0 \Longrightarrow \left ( \frac{12}{37} \right )^3 \left ( \frac{1}{c_2^1 } \right )^3 = \lambda_3 \) (2)

\( \Big[ \frac{\partial \mathcal{L}} {\partial h_1^1} = 0 \Big] \Longrightarrow -\lambda_1p_1 + \lambda_2 = 0 \Longrightarrow \lambda_1p_1 = \lambda_2\) (3)

\( \Big[ \frac{\partial \mathcal{L}} {\partial h_2^1} = 0 \Big] \Longrightarrow - \lambda_1p_2 +\lambda_3 = 0 \Longrightarrow \lambda_1p_2 = \lambda_3 \) (4)

\( \Big[ \frac{\partial \mathcal{L}} {\partial \lambda_1} = 0 \Big] \Longrightarrow -[p_1h_1^1 + p_2h_2^1] = 0 \Longrightarrow p_1h_1^1 + p_2h_2^1 = 0 \) (5)

\( \Big[ \frac{\partial \mathcal{L}} {\partial \lambda_2} = 0 \Big] \Longrightarrow -[c_1^1 - w_1^1 - h_1^1=0] \Longrightarrow c_1^1 = w_1^1 + h_1^1\) (6)

\( \Big[ \frac{\partial \mathcal{L}} {\partial \lambda_3} = 0 \Big] \Longrightarrow -[c_2^1 - w_2^1 - h_2^1=0] \Longrightarrow c_2^1 = w_2^1 + h_2^1 \) (7)

Dividindo (1) pela (2) e (3) pela (4), obtemos \( \frac{\lambda_2} {\lambda_3} \). Igualando os dois resultados e fazendo algumas manipulações, chegamos em (8). A equação (9) vem diretamente de (5). As equações (10) e (11) são as mesmas de (6) e (7), após substituirmos os valores das dotações iniciais (\( w_1^1=1 \text{ e } w_2^1 = 0 \)). Assim, com as 4 equações abaixo, é possível resolver o sistema e encontrar as alocações de equilíbrio:

\( \frac{p_1} {p_2} = \left ( \frac{37}{12} \right )^3 \left ( \frac{c_2^1}{c_1^1 } \right )^3 \Longrightarrow c_2^1 = c_1^1 \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{p_1} {p_2}\right )^{\frac{1}{3}} \) (8)

\( h_2^1 = - \frac{p_1}{p_2} h_1^1 \) (9)

\( c_1^1 = 1 + h_1^1 \) (10)

\( c_2^1 = h_2^1 \) (11)

Agora, substituindo (10) e (11) em (8) chegamos em:

\( c_2^1 = c_1^1 \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{p_1} {p_2}\right )^{\frac{1}{3}} \Longrightarrow h_2^1 = (h_1^1 + 1) \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{p_1} {p_2}\right )^{\frac{1}{3}} \) (12)

Igualando o resultado em (12) com (9), podemos chegar em:

\( h_2^1 = (h_1^1 + 1) \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{p_1} {p_2}\right )^{\frac{1}{3}} = - \frac{p_1}{p_2} h_1^1 \)

\( h_1^1 \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{p_1} {p_2}\right )^{\frac{1}{3}} + \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{p_1} {p_2}\right )^{\frac{1}{3}} = - \frac{p_1}{p_2} h_1^1 \)

\( - \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{p_1} {p_2}\right )^{\frac{1}{3}} = h_1^1 \Big[ \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{p_1} {p_2}\right )^{\frac{1}{3}} + \frac{p_1}{p_2} \Big] \) (13)

Agora, verificando os resultados para os preços de equilíbrio dados no enunciado, temos:

  • Resultados para o vetor p = (1,1)'

\( - \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{1} {1}\right )^{\frac{1}{3}} = h_1^1 \Big[ \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{1} {1}\right )^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{1} \Big] \)

\( - \left ( \frac{12}{37} \right ) = h_1^1 \Big[ \left ( \frac{12}{37} \right ) + 1 \Big] \)

\( - \left ( \frac{12}{37} \right ) = h_1^1 \Big[ \left ( \frac{12}{37} \right ) + \left ( \frac{37}{37} \right )\Big] \)

\( - \left ( \frac{12}{37} \right ) = h_1^1 \Big[ \left ( \frac{49}{37} \right ) \Big] \)

\( h_1^1 = - \left ( \frac{12}{49} \right ) \)

Substituindo este resultado para as equações (9), (10) e (11) podemos encontrar as demais alocações de equilíbrio do agente 1 neste vetor de preço:

\( h_2^1 = - \frac{1}{1} \left ( - \frac{12}{49} \right ) = \left ( \frac{12}{49} \right ) \)

\( c_1^1 = 1 - \left ( \frac{12}{49} \right ) = \left ( \frac{49}{49} \right ) - \left ( \frac{12}{49} \right ) = \left ( \frac{37}{49} \right ) \)

\( c_2^1 = h_2^1= \left ( \frac{12}{49} \right ) \)

  • Resultados para o vetor p = ((64/27),1)'

\( - \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{(\frac{4}{3})^3} {1}\right )^{\frac{1}{3}} = h_1^1 \Big[ \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{(\frac{4}{3})^3} {1}\right )^{\frac{1}{3}} + \frac{(\frac{4}{3})^3}{1} \Big] \)

\( - \left ( \frac{12}{37} \right ) \Big( \left( \frac{4} {3}\right )^3 \Big)^{\frac{1}{3}} = h_1^1 \Big[ \left ( \frac{12}{37} \right ) \Big( \left( \frac{4} {3}\right )^3 \Big)^{\frac{1}{3}} + \left( \frac{4} {3}\right )^3 \Big] \)

\( - \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{4} {3}\right ) = h_1^1 \Big[ \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{4} {3}\right ) + \left( \frac{4} {3}\right )^3 \Big] \)

\( - \left ( \frac{16}{37} \right ) = h_1^1 \Big[ \left ( \frac{16}{37} \right ) + \left( \frac{64} {27}\right ) \Big] \)

\( - \left ( \frac{16}{37} \right ) = h_1^1 \Big[ \left ( \frac{2800}{37x27} \right ) \Big] \)

\(h_1^1 = - \left ( \frac{16x27}{175x16} \right ) = - \left ( \frac{27}{175} \right ) \)

Substituindo este resultado para as equações (9), (10) e (11) podemos encontrar as demais alocações de equilíbrio do agente 1 neste vetor de preço:

\( h_2^1 = - \left( \frac{4} {3}\right )^3 \left ( - \frac{27}{175} \right ) = \left ( \frac{64}{175} \right ) \)

\( c_1^1 = 1 - \left ( \frac{27}{175} \right ) = \left ( \frac{175}{175} \right ) - \left ( \frac{27}{175} \right ) = \left ( \frac{148}{175} \right ) \)

\( c_2^1 = h_2^1= \left ( \frac{64}{175} \right ) \)

  • Resultados para o vetor p = ((27/64),1)'

\( - \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{(\frac{3}{4})^3} {1}\right )^{\frac{1}{3}} = h_1^1 \Big[ \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{(\frac{3}{4})^3} {1}\right )^{\frac{1}{3}} + \frac{(\frac{3}{4})^3}{1} \Big] \)

\( - \left ( \frac{12}{37} \right ) \Big( \left( \frac{3} {4}\right )^3 \Big)^{\frac{1}{3}} = h_1^1 \Big[ \left ( \frac{12}{37} \right ) \Big( \left( \frac{3} {4}\right )^3 \Big)^{\frac{1}{3}} + \left( \frac{3} {4}\right )^3 \Big] \)

\( - \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{3} {4}\right ) = h_1^1 \Big[ \left ( \frac{12}{37} \right ) \left( \frac{3} {4}\right ) + \left( \frac{3} {4}\right )^3 \Big] \)

\( - \left ( \frac{9}{37} \right ) = h_1^1 \Big[ \left ( \frac{9}{37} \right ) + \left( \frac{27} {64}\right ) \Big] \)

\( - \left ( \frac{9}{37} \right ) = h_1^1 \Big[ \left ( \frac{1575}{37x64} \right ) \Big] \)

\(h_1^1 = - \left ( \frac{9x64}{175x9} \right ) = - \left ( \frac{64}{175} \right ) \)

Substituindo este resultado para as equações (9), (10) e (11) podemos encontrar as demais alocações de equilíbrio do agente 1 neste vetor de preço:

\( h_2^1 = - \left( \frac{3} {4}\right )^3 \left ( - \frac{64}{175} \right ) = - \left( \frac{27} {64}\right ) \left ( - \frac{64}{175} \right ) = \left ( \frac{27}{175} \right ) \)

\( c_1^1 = 1 - \left ( \frac{64}{175} \right ) = \left ( \frac{175}{175} \right ) - \left ( \frac{64}{175} \right ) = \left ( \frac{111}{175} \right ) \)

\( c_2^1 = h_2^1= \left ( \frac{27}{175} \right ) \)

Resolvendo o problema para o indivíduo 2:

\( \mathcal{L}( {c_1^2\text{, }c_2^2\text{, }h_1^2\text{, }h_2^2 } , \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) = - \frac{1}{2}\left ( \Big( \frac{12}{37} \right )^3 (c_1^2)^{-2} + (c_2^2)^{-2}\Big) \)
\( - \lambda_1( p_1h_2^1 + p_2h_2^2 ) - \lambda_2 ( c_1^2 - w_1^2 - h_1^2) - \lambda_3( c_2^2 - w_2^2 - h_2^2 ) \)

As CPO's deste problema são:

\( \Big[ \frac{\partial \mathcal{L}} {\partial c_1^2} = 0 \Big] \Longrightarrow \left ( - \frac{1}{2 } \right )(-2) \left ( \frac{12}{37} \right )^3 \left ( \frac{1}{c_1^2 } \right )^3 - \lambda_2 = 0 \Longrightarrow \left ( \frac{12}{37} \right )^3 \left ( \frac{1}{c_1^2 } \right )^3 = \lambda_2 \) (1)

\( \Big[ \frac{\partial \mathcal{L}} {\partial c_2^2} = 0 \Big] \Longrightarrow \left ( - \frac{1}{2 } \right )(-2) \left ( \frac{1}{c_2^2 } \right )^3 - \lambda_3 = 0 \Longrightarrow \left ( \frac{1}{c_2^2 } \right )^3 = \lambda_3 \) (2)

\( \Big[ \frac{\partial \mathcal{L}} {\partial h_1^2} = 0 \Big] \Longrightarrow -\lambda_1p_1 + \lambda_2 = 0 \Longrightarrow \lambda_1p_1 = \lambda_2\) (3)

\( \Big[ \frac{\partial \mathcal{L}} {\partial h_2^2} = 0 \Big] \Longrightarrow - \lambda_1p_2 + \lambda_3 = 0 \Longrightarrow \lambda_1p_2 = \lambda_3 \) (4)

\( \Big[ \frac{\partial \mathcal{L}} {\partial \lambda_1} = 0 \Big] \Longrightarrow -[p_1h_1^2 + p_2h_2^2] = 0 \Longrightarrow p_1h_1^2 + p_2h_2^2 = 0 \) (5)

\( \Big[ \frac{\partial \mathcal{L}} {\partial \lambda_2} = 0 \Big] \Longrightarrow -[c_1^2 - w_1^2 - h_1^2=0] \Longrightarrow c_1^2 = w_1^2 + h_1^2\) (6)

\( \Big[ \frac{\partial \mathcal{L}} {\partial \lambda_3} = 0 \Big] \Longrightarrow -[c_2^2 - w_2^2 - h_2^2=0] \Longrightarrow c_2^2 = w_2^2 + h_2^2 \) (7)

Dividindo (1) pela (2) e (3) pela (4), obtemos \( \frac{\lambda_2} {\lambda_3} \). Igualando os dois resultados e fazendo algumas manipulações, chegamos em (8). A equação (9) vem diretamente de (5). As equações (10) e (11) são as mesmas de (6) e (7), após substituirmos os valores das dotações iniciais (\( w_1^2=0 \text{ e } w_2^2 = 1 \)). Assim, com as 4 equações abaixo, é possível resolver o sistema e encontrar as alocações de equilíbrio:

\( \frac{p_1} {p_2} = \left ( \frac{12}{37} \right )^3 \left ( \frac{c_2^2}{c_1^2 } \right )^3 \Longrightarrow c_2^2 = c_1^2 \left ( \frac{37}{12} \right ) \left( \frac{p_1} {p_2}\right )^{\frac{1}{3}} \) (8)

\( h_2^2 = - \frac{p_1}{p_2} h_1^2 \) (9)

\( c_1^2 = h_1^2 \) (10)

\( c_2^2 = 1+ h_2^2 \) (11)

Agora, substituindo (10) e (11) em (8) chegamos em:

\( c_2^2 = c_1^2 \left ( \frac{37}{12} \right ) \left( \frac{p_1} {p_2}\right )^{\frac{1}{3}} \Longrightarrow (1+h_2^2) = (h_1^2) \left ( \frac{37}{12} \right ) \left( \frac{p_1} {p_2}\right )^{\frac{1}{3}} \)

Igualando o resultado em (12) com (9), podemos chegar em:

\( h_2^2 = h_1^2 \left ( \frac{37}{12} \right ) \left( \frac{p_1} {p_2}\right )^{\frac{1}{3}} - 1 = - \frac{p_1}{p_2} h_1^2 \)

\( h_1^2 \left ( \frac{37}{12} \right ) \left( \frac{p_1} {p_2}\right )^{\frac{1}{3}} + \frac{p_1}{p_2} h_1^2 = 1 \)

\( h_1^2 \Big[ \left ( \frac{37}{12} \right ) \left( \frac{p_1} {p_2}\right )^{\frac{1}{3}} + \frac{p_1}{p_2} \Big] = 1 \) (13)

Agora, verificando os resultados para os preços de equilíbrio dados no enunciado, temos:

  • Resultados para o vetor p = (1,1)'

\( h_1^2 \Big[ \left ( \frac{37}{12} \right ) \left( \frac{1} {1}\right )^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{1} \Big] = 1 \)

\( h_1^2 \Big[ \left ( \frac{37}{12} \right ) + \frac{12}{12} \Big] = 1 \)

\( h_1^2 \Big[ \left ( \frac{49}{12} \right ) \Big] = 1 \)

\( h_1^2 = \left ( \frac{12}{49} \right ) \)

Substituindo este resultado para as equações (9), (10) e (11) podemos encontrar as demais alocações de equilíbrio do agente 1 neste vetor de preço:

\( h_2^2 = - \frac{1}{1} \left ( \frac{12}{49} \right ) = - \left ( \frac{12}{49} \right ) \)

\( c_1^2 = h_1^2 = \left ( \frac{12}{49} \right ) \)

\( c_2^2 = 1 + h_2^1= 1 - \left ( \frac{12}{49} \right ) = \left ( \frac{49}{49} \right ) - \left ( \frac{12}{49} \right ) = \left ( \frac{37}{49} \right ) \)

  • Resultados para o vetor p = ((64/27),1)'

\( h_1^2 \Big[ \left ( \frac{37}{12} \right ) \left( \frac{(\frac{4}{3})^3} {1}\right )^{\frac{1}{3}} + \left( \frac{(\frac{4}{3})^3} {1}\right ) \Big] = 1 \)

\( h_1^2 \Big[ \left ( \frac{37}{12} \right ) \Big( \left( \frac{4} {3}\right ) \Big)^{\frac{1}{3}} + \Big( \left( \frac{4} {3}\right )^3 \Big) \Big] = 1 \)

\( h_1^2 \Big[ \left ( \frac{37}{12} \right ) \left( \frac{4} {3}\right ) + \Big( \left( \frac{64} {27}\right )^3 \Big) \Big] = 1 \)

\( h_1^2 \Big[ \left ( \frac{37x4}{12x3} \right ) + \Big( \left( \frac{64} {27}\right ) \Big) \Big] = 1 \)

\( h_1^2 \Big[ \left ( \frac{27x37x4 + 64x36}{36x27} \right ) \Big) \Big] = h_1^2 \Big[ \left ( \frac{6300}{972} \right ) \Big) \Big] = 1 \)

\( h_1^2 = \left ( \frac{972}{6300} \right ) = \left ( \frac{36x27}{36x175} \right ) = \left ( \frac{27}{175} \right )\)

\( h_1^2 = \left ( \frac{27}{175} \right )\)

Substituindo este resultado para as equações (9), (10) e (11) podemos encontrar as demais alocações de equilíbrio do agente 1 neste vetor de preço:

\( h_2^2 = - \left ( \frac{4}{3}\right )^3 \left ( \frac{27}{175} \right ) = - \left ( \frac{64}{27}\right ) \left ( \frac{27}{175} \right ) = - \left ( \frac{64}{175} \right ) \)

\( c_1^2 = h_1^2 = \left ( \frac{27}{175} \right ) \)

\( c_2^2 = 1 + h_2^1= 1 - \left ( \frac{64}{175} \right ) = \left ( \frac{175}{175} \right ) - \left ( \frac{64}{175} \right ) = \left ( \frac{111}{175} \right ) \)

  • Resultados para o vetor p = ((27/64),1)'

\( h_1^2 \Big[ \left ( \frac{37}{12} \right ) \left( \frac{(\frac{3}{4})^3} {1}\right )^{\frac{1}{3}} + \left( \frac{(\frac{3}{4})^3} {1}\right ) \Big] = 1 \)

\( h_1^2 \Big[ \left ( \frac{37}{12} \right ) \Big( \left( \frac{3} {4}\right ) \Big)^{\frac{1}{3}} + \Big( \left( \frac{3} {4}\right )^3 \Big) \Big] = 1 \)

\( h_1^2 \Big[ \left ( \frac{37}{12} \right ) \left( \frac{3} {4}\right ) + \Big( \left( \frac{27} {64}\right )^3 \Big) \Big] = 1 \)

\( h_1^2 \Big[ \left ( \frac{37x3}{12x4} \right ) + \Big( \left( \frac{27} {64}\right ) \Big) \Big] = 1 \)

\( h_1^2 \Big[ \left ( \frac{64x37x3 + 27x48}{48x64} \right ) \Big) \Big] = h_1^2 \Big[ \left ( \frac{8400}{3072} \right ) \Big) \Big] = 1 \)

\( h_1^2 = \left ( \frac{3072}{8400} \right ) = \left ( \frac{64x48}{48x175} \right ) = \left ( \frac{64}{175} \right )\)

\( h_1^2 = \left ( \frac{64}{175} \right )\)

Substituindo este resultado para as equações (9), (10) e (11) podemos encontrar as demais alocações de equilíbrio do agente 1 neste vetor de preço:

\( h_2^2 = - \left ( \frac{3}{4}\right )^3 \left ( \frac{64}{175} \right ) = - \left ( \frac{27}{64}\right ) \left ( \frac{64}{175} \right ) = - \left ( \frac{27}{175} \right ) \)

\( c_1^2 = h_1^2 = \left ( \frac{64}{175} \right ) \)

\( c_2^2 = 1 + h_2^1= 1 - \left ( \frac{27}{175} \right ) = \left ( \frac{175}{175} \right ) - \left ( \frac{27}{175} \right ) = \left ( \frac{148}{175} \right ) \)

Equilíbrio:

Um equilíbrio no mercado de ativos consiste em um vetor de precos de ativos p, uma alocacão \( (h^i)\) e uma alocacão de consumo \( (c_j^i) \) tal que sejam soluções do problema de escolha dos agentes nos precos p. Assim, no equilíbrio teremos:

\( \sum_{i}h^i = 0 \Longrightarrow h_1^1 + h_1^2 = 0 \) e \( h_1^2 + h_2^2 = 0\)

\( \sum_{i}c_1^i \leq \sum_{i}w_1^i \Longrightarrow c_1^1 + c_1^2 \leq w_1^1 + w_1^2 =1 \)

\( \sum_{i}c_2^i \leq \sum_{i}w_2^i \Longrightarrow c_2^1 + c_2^2 \leq w_2^1 + w_2^2 = 1 \)

Conferindo estes resultado para as alocações de equilíbrio de cada preço:

  • Resultados para o vetor p = (1,1)'

\( h_1^1 + h_1^2 = 0 \Longrightarrow - \left ( \frac{12}{49} \right ) + \left ( \frac{12}{49} \right ) = 0 \)
\( h_1^2 + h_2^2 = 0 \Longrightarrow \left ( \frac{12}{49} \right ) - \left ( \frac{12}{49} \right ) = 0 \)
\( c_1^1 + c_1^2 \leq 1 \Longrightarrow \left ( \frac{37}{49} \right ) + \left ( \frac{12}{49} \right ) = \left ( \frac{64}{64} \right ) =1\)
\( c_2^1 + c_2^2 \leq 1 \Longrightarrow \left ( \frac{12}{49} \right ) + \left ( \frac{37}{49} \right ) = \left ( \frac{64}{64} \right ) =1 \)

  • Resultados para o vetor p = ((64/27),1)'

\( h_1^1 + h_1^2 = 0 \Longrightarrow - \left ( \frac{27}{175} \right ) + \left ( \frac{27}{175} \right ) =0\)
\( h_1^2 + h_2^2 = 0 \Longrightarrow \left ( \frac{64}{175} \right ) - \left ( \frac{64}{175} \right )=0 \)
\( c_1^1 + c_1^2 \leq 1 \Longrightarrow \left ( \frac{148}{175} \right ) + \left ( \frac{27}{175} \right ) = \left ( \frac{175}{175} \right ) =1 \)
\( c_2^1 + c_2^2 \leq 1 \Longrightarrow \left ( \frac{64}{175} \right ) + \left ( \frac{111}{175} \right ) = \left ( \frac{175}{175} \right ) =1 \)

  • Resultados para o vetor p = ((27/64),1)'

\( h_1^1 + h_1^2 = 0 \Longrightarrow - \left ( \frac{64}{175} \right ) + \left ( \frac{64}{175} \right )= 0 \)
\( h_1^2 + h_2^2 = 0 \Longrightarrow \left ( \frac{27}{175} \right ) - \left ( \frac{27}{175} \right ) = 0 \)
\( c_1^1 + c_1^2 \leq 1 \Longrightarrow \left ( \frac{111}{175} \right ) + \left ( \frac{64}{175} \right ) = \left ( \frac{175}{175} \right ) =1 \)
\( c_2^1 + c_2^2 \leq 1 \Longrightarrow \left ( \frac{27}{175} \right ) + \left ( \frac{148}{175} \right ) = \left ( \frac{175}{175} \right ) =1 \)

Assim, é possível ver que os 3 preços satisfazem as condições de equilíbrio e limpam o mercado.

comentou Set 6 por Pedro Campelo (31 pontos)  
editado Set 10 por Pedro Campelo
Além disso, substituindo os valores dos consumos ótimos na utilidade dos agentes, é possível verificar que:


\(  U^1 \Big( \frac{37}{49},\frac{12}{49} \Big) = - \frac{1}{2}\Bigg( \Big(\frac{37}{49} \Big)^{-2}  + \left (    \frac{12}{37} \right )^3 \Big( \frac{12}{49} \Big)^{-2}\Bigg) = - \frac{1}{2}\Bigg( \Big(\frac{49}{37} \Big)^{2}  + \left (    \frac{12}{37} \right )^3 \Big( \frac{49}{12} \Big)^{2}\Bigg) \approx -1,16  \)

\(  U^1 \Big(\frac{148}{175}, \frac{64}{175} \Big) = - \frac{1}{2}\Bigg( \Big(\frac{148}{175}\Big)^{-2}  + \left (    \frac{12}{37} \right )^3 \Big(\frac{64}{175} \Big)^{-2}\Bigg) = - \frac{1}{2}\Bigg( \Big(\frac{175}{148}\Big)^{2}  + \left (    \frac{12}{37} \right )^3 \Big(\frac{175}{64} \Big)^{2}\Bigg)  \approx -0,83 \)

\(  U^1 \Big( \frac{111}{175},\frac{27}{175} \Big) = - \frac{1}{2}\Bigg( \Big(\frac{111}{175} \Big)^{-2}  + \left (    \frac{12}{37} \right )^3 \Big(\frac{27}{175} \Big)^{-2}\Bigg) = - \frac{1}{2}\Bigg( \Big(\frac{175}{111} \Big)^{2}  + \left (    \frac{12}{37} \right )^3 \Big(\frac{175}{27} \Big)^{2}\Bigg) \approx -1,95 \)

\(  U^2 \Big (\frac{12}{49}, \frac{37}{49} \Big) = - \frac{1}{2} \Bigg( \left (    \frac{12}{37} \right )^3 \Big(\frac{12}{49} \Big)^{-2}  + \Big(\frac{37}{49} \Big)^{-2} \Bigg) = - \frac{1}{2} \Bigg( \left (    \frac{12}{37} \right )^3 \Big(\frac{49}{12} \Big)^{2}  + \Big(\frac{49}{37} \Big)^{2} \Bigg) \approx -1,16 \)

\(  U^2 \Big( \frac{27}{175},\frac{111}{175} \Big) = - \frac{1}{2} \Bigg( \left (    \frac{12}{37} \right )^3 \Big(\frac{27}{175} \Big)^{-2}  + \Big(\frac{111}{175} \Big)^{-2} \Bigg) =  - \frac{1}{2} \Bigg( \left (    \frac{12}{37} \right )^3 \Big(\frac{175}{27} \Big)^{2}  + \Big(\frac{175}{111} \Big)^{2} \Bigg) \approx -1,95 \)

\(  U^2 \Big(\frac{64}{175},\frac{148}{175} \Big) = - \frac{1}{2} \Bigg( \left (    \frac{12}{37} \right )^3 \Big(\frac{64}{175} \Big)^{-2}  + \Big(\frac{148}{175} \Big)^{-2} \Bigg) =  - \frac{1}{2} \Bigg( \left (    \frac{12}{37} \right )^3 \Big(\frac{175}{64} \Big)^{2}  + \Big(\frac{175}{148} \Big)^{2} \Bigg) \approx -0,83 \)

Ou seja, os vetores de preço \(p^{**}=\big( \left (\frac{4}{3} \right )^3,1\big)' \text{ e } p^{***}=\big( \left (\frac{3}{4} \right )^3,1\big)'\)  dão as maiores satisfação para os indivíduos 1 e 2, respectivamente. Porém, o vetor de preços que dá a maior satisfação para um agente, dá a menor para o outro. E assim, o vetor de preços que dá a satisfação intermediária para ambos os agentes é  \(p^{*}= \left (1,1 \right )' \)
comentou 2 dias atrás por Stuart Mill (354 pontos)  
Ótima resolução, só alguns comentários:

1) A primeira passagem das derivadas parciais do Lagrangeano em relação a h1 não estão incorretas? Não deveria ser -λ1p1−λ2 = 0?
2) Na hora de encontrar os valores numéricos para o indivíduo 2, a notação ficou um pouco confusa. O superescrito não deveria ser 2 em vez de 1?
3) Para o jogador 2, quando calculou os consumos c2, os resultados não estão incorretos? Para o vetor p**, c22 deveria ser 111/175, e não 111/49 como está. Da mesma forma, para o vetor p***, c22 deveria ser 148/175, e não 148/49. Na hora de conferir os equilíbrios, os valores estão certos.

No mais, acredito que esteja tudo certo, cheguei aos mesmos resultados.
comentou 23 horas atrás por Pedro Campelo (31 pontos)  
editado 23 horas atrás por Pedro Campelo
Muito obrigado pelo comentário, realmente todos os itens apontados tiveram erros na digitação. Na verdade, no ponto 1 o correto seria:  

\(  -\lambda_1p_1 + \lambda_2 = 0 \Longrightarrow \lambda_1p_1 = \lambda_2 \)

Que da o mesmo resultado no final.

Ademais, todos os erros de digitação apontados já foram corrigidos.
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