O Jogo do Círculo

Question

Considere o seguinte jogo multiestágio:

i) Considere um círculo de raio R, incluindo a fronteira. Dois jogadores alternam posicionando círculos abertos (sem incluir a fronteira) de raio r (r<R), cujo centro esteja contido no círculo maior de raio R.

ii) Cada jogador observa a jogada do jogador anterior e faz sua ação. Uma ação para cada jogador é um par ordenado (x,y) para o centro do círculo de raio r. Um jogador não pode escolher (x,y) tal que o interior do círculo de centro (x,y) inclua outro círculo anteriormente posicionado (seja pelo jogador 1, seja pelo jogador 2). Ou seja, dois círculos pequenos não podem estar sobrepostos.

iii) Se, na rodada do jogador i, não houver mais como posicionar um círculo de raio r sem o sobrepor a outro círculo anteriormente posicionado, i perde e j ganha.

Mostre que existe uma estratégia dominante para o jogador que joga primeiro, qualquer que sejam os raior R e r.

Answer 1

Considere a seguinte estratégia do jogador 1 (jogador que joga primeiro).

1) Jogar (0,0) na primeira rodada (considerando que o círculo de raio R está centrado na origem).

2) Em cada jogada subsequente em que for chamado a jogar, observar a jogada (x,y) do jogador 2 e jogar (-x,-y) (ou seja, espelhar a jogada do outro jogador).

Perceba que, com esta estratégia, o jogador 1 garante que nunca joga em um ponto que já foi jogado. Se o jogador 2 jogou (x,y), então (-x,-y) está livre. Caso contrário, o jogador 2 não poderia ter jogado (x,y).

Para o jogador 2, a melhor estratégia (considerando todos os possíveis subjogos em que possa ser chamado a jogar) seria:

3) Jogar (0,0) na primeira rodada, se (0,0) estiver desocupado. Caso contrário, jogar qualquer (x,y) cuja bola aberta não inclua nenhuma bola aberta de outro ponto escolhido anteriormente e tal que \( x^2 + y^2 \leq R \).

4) Observar a última jogada (x,y) do jogador 1 e jogar (-x,-y), se for possível. Caso contrário, jogar qualquer (x,y) cuja bola aberta não inclua nenhuma bola aberta de outro ponto escolhido anteriormente e tal que \( x^2 + y^2 \leq R \).

Em um número finito de rodadas, o jogador 2 será o primeiro jogador tal que não existirá (x,y) disponível que satisfaça as regras do jogo. Como toda jogada do jogador 1 é possível, com a estratégia descrita acima, sua estratégia permite vencer o jogo qualquer que seja a estratégia de 2. Em especial, as estratégias descritas acima compõem um Equilíbrio de Nash Perfeito de Subjogo do Jogo.