Podem Contratos de Opções Tornar Mercados Incompletos em Mercados Completos?

Question

Considere um mercado com \(S\) estados e com apenas um ativo \(x_1\) arriscado que paga payoff \(1\) no estado 1, \(2\) no estado 2, · · ·, \(S\) no estado S. Considere \(S − 1\) opções de compra
com payoffs dados por \(c = max(x_1 − K, 0)\), para \(K = 1, · · · , S − 1\). Use esses contratos de opção para completar esse mercado:

a) Construa a matriz de payoffs;
b) Mostre que o mercado ́e completo.

Answer 1

Note que como \(x_1 \in \mathbb{R}^S\) tq \(x_1=(1,2,...,S)\) temos que o contrato de opção \(j\) é caracterizado pelo seu preço \(j\) e payoff \(c_j \in \mathbb{R}^S\) tq \(c_j=\max(x_1-\mathbf{j})\), em que \(\mathbf{j}\in\mathbb{R}^S\) tq \(\mathbf{j}=(j,...,j)\).
Nessas condições, \(c_1=(0,1,2,...,S-1)\), \(c_2=(0,0,1,...,S-2)\),...,\(c_{S-1}=(0,0,0,...,1)\).
A matriz de payoffs será

\[X=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ S & S-1 & S-2 & S-3 & \cdots & 1 \end{array}\right]\]

Recorde que um mercado é dito completo se a matriz de payoffs que o caracteriza tem posto \(S\). Existem muitas formas de mostrar que\(X\) tem posto cheio, o faremos pela maneira mais fácil, que, nesse caso, é mostrar que o espaço gerado pelas colunas de \(X\) tem dimensão \(S\), i.e., os vetores-coluna são linearmente independentes, o que significa que \(Xb=0 \Rightarrow b=0, b\in\mathbb{R}^S\).
De fato, resolvendo o sistema, note que a primeira equação será \(b_1=0\); a segunda será \(2b_1+b_2=0 \Rightarrow b_2=0\); a terceira será \(3b_1+2b_2+b_3=0 \Rightarrow b_3=0\)... Prosseguimos indutivamente e concluímos que \(b=0\).
Segue, portanto, que o mercado é completo.