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Diferenciabilidade implica em continuidade (para \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\))?

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perguntada Set 17 em Matemática por Stuart Mill (504 pontos)  

Diferenciabilidade implica em continuidade (para \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\))?

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1 Resposta

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respondida Set 19 por danielcajueiro (5,376 pontos)  
selecionada Set 19 por Stuart Mill
 
Melhor resposta

Sim. Diferenciabilidade implica em continuidade:

Definição de diferenciabilidade: f é diferenciável em \(x_0\), então o limite \[f^{\prime} ‎(x) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}\] existe.

Definição de continuidade: \(f\) é contínua em \(x_0\) quando \[\lim_{x\to x_0} f(x) - f(x_0) = 0\]

Note que o limite \(\lim_{x\to x_0} {(x-x_0)}\) sempre existe e é igual a zero.

Então use a regra do produto para concluir que o limite que define continuidade é válido:

\[\lim_{x\to x_0} f(x) - f(x_0) =\lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \times {(x-x_0)}\] \[= \lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \times \lim_{x\to x_0} {(x-x_0)} =0\]

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