A questão foi resolvida no Python.
Primeiro, é preciso desenhar o problema de minimização. Fica fácil perceber que sem restrição nenhuma, os valores de \( x \text{ e } y \) que minimizam a função são \( (x,y) \to (-\infty, -\infty )\).
Agora, são analisadas todas as restrições:
- Restrição 1 (Verde):
\( x−2y \leq 3 \Longrightarrow y \geq \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} \)
Os pontos possíveis de x e y estão representados na área pintada de cinza no gráfico abaixo (lado esquerdo/superior da reta).
Juntando esta restrição com a função a ser minimizada, é possível verificar que os valores otimizam esta função são \( (x,y) \to (-\infty, -\infty )\).
Porém, considerando só os valores positivos de x e y, isto é, juntando com a restrição 4, pode-se observar que o ponto que minimizaria a função é \( (x,y) = (0, 0 )\).
- Restrição 2 (Amarela):
\( 3x−4y \geq 5 \Longrightarrow y \leq \frac{3}{4}x - \frac{5}{4} \)
Os pontos possíveis de x e y estão representados na área pintada de cinza no gráfico abaixo (lado direito/inferior da reta).
Juntando esta restrição com a função a ser minimizada, é possível verificar que os valores otimizam esta função são \( (x,y) \to (-\infty, -\infty )\).
Porém, considerando só os valores positivos de x e y, isto é, juntando com a restrição 4, observa-se que o ponto que minimizaria a função é \( (x,y) = \big(\frac{5}{3},0\big) \).
- Restrição 3 (Azul):
\( 6x−7y = 8 \Longrightarrow y = \frac{6}{7}x - \frac{8}{7} \)
Os pontos possíveis de x e y serão todos os pontos que pertencem a equação acima, isto é, todos os pontos que estão em cima da reta azul abaixo.
Juntando esta restrição com a função a ser minimizada, é possível verificar que os valores otimizam esta função são os menores valores de x e y que satisfazem a equação acima, ou seja, \( (x,y) \to (-\infty, -\infty )\).
Porém, considerando só os valores positivos de x e y, isto é, juntando com a restrição 4, observa-se que o ponto que minimizaria a função é \( (x,y) = \big(\frac{4}{3},0\big) \).
- Restrição 4:
\( x \geq 0 \text{ e } y \geq 0 \)
Esta restrição considera só os valores positivos de x e y. Assim, a área pintada de cinza no gráfico abaixo é todo o primeiro quadrante dos valores positivos.
Juntando esta restrição com a função a ser minimizada, é possível verificar que os valores otimizam esta função são \( (x,y) = (0, 0)\).
Agora, analiso as combinações das restrições e por fim, todas as restrições em conjunto.
- Restrições 1 e 2:
\( x−2y \leq 3 \Longrightarrow y \geq \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} \)
\( 3x−4y \geq 5 \Longrightarrow y \leq \frac{3}{4}x - \frac{5}{4} \)
Os pontos possíveis de x e y serão todos os pontos que pertencem ao cone pintado de cinza entre as retas verde a amarela.
Juntando estas restrições com a função a ser minimizada, é possível verificar que os valores otimizam esta função são \( (x,y) = (-1, -2 )\).
Porém, considerando só os valores positivos de x e y, isto é, juntando com a restrição 4, observa-se que o ponto que minimizaria a função é \( (x,y) = \big(\frac{5}{3},0\big) \):
- Restrições 1 e 3:
\( x−2y \leq 3 \Longrightarrow y \geq \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} \)
\( 6x−7y = 8 \Longrightarrow y = \frac{6}{7}x - \frac{8}{7} \)
Os pontos possíveis de x e y serão todos os pontos ao lado esquerdo e superior da reta verde e em cima da reta azul.
Juntando estas restrições com a função a ser minimizada, é possível verificar que os valores otimizam esta função são \( (x,y) = (-1, -2 )\).
Porém, considerando só os valores positivos de x e y, isto é, juntando com a restrição 4, observa-se que o ponto que minimizaria a função é: \( (x,y) = \big(\frac{4}{3},0\big) \).
- Restrições 2 e 3:
\( 3x−4y \geq 5 \Longrightarrow y \leq \frac{3}{4}x - \frac{5}{4} \)
\( 6x−7y = 8 \Longrightarrow y = \frac{6}{7}x - \frac{8}{7} \)
Os pontos possíveis de x e y serão todos os pontos ao lado direito e inferior da reta amarela e em cima da reta azul . É possível verificar que o primeiro ponto possível entre as duas restrições é o \( (x,y) = (-1,-2)) \), e os próximos pontos factíveis são todos negativos.
Juntando estas restrições com a função a ser minimizada, é possível verificar que os valores otimizam esta função são \( (x,y) \to (-\infty, -\infty ) \).
Porém, considerando só os valores positivos de x e y, isto é, juntando com a restrição 4, observa-se que não existe nenhum ponto que satisfaça as duas restrições (visto que o primeiro ponto possível é \( (x,y) = (-1,-2) \)).
- Todas as restrições:
\( x−2y \leq 3 \Longrightarrow y \geq \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} \)
\( 3x−4y \geq 5 \Longrightarrow y \leq \frac{3}{4}x - \frac{5}{4} \)
\( 6x−7y = 8 \Longrightarrow y = \frac{6}{7}x - \frac{8}{7} \)
\( x \geq 0 \text{ e } y \geq 0 \)
Agora, juntando todas as restrições, vemos que todos os pontos possíveis de x e y estão no cone pintada de cinza entre as retas verde e amarelo, em cima da reta azul, e os valores positivos de x e y. Então, fica fácil perceber que não existe nenhum ponto factível que satisfaça as 4 restrições.
Caso não existisse a restrição 4, que considera os valores positivos de x e y, o ponto que minimizaria a função em questão é \( (x,y) = (-1,-2) \), que é a interseção entre as 3 retas.
