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Calcule o centro de massa da região limitada pelas retas y=-x, y=x e y=1 de densidade \({\delta}(x,y) = y+1\)

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perguntada Out 9 em Matemática por Stuart Mill (504 pontos)  
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1 Resposta

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respondida Out 9 por Stuart Mill (504 pontos)  

Primeiramente, \( D = \{(x,y): y\in [0,1], x\in[-y,y]\} \).

  1. A massa será dada por :\(m = {\int_{0}^{1}} {\int_{-y}^{y}{\delta}(x,y)dxdy} = \int_{0}^{1}\int_{-y}^{y}(y+1)dxdy =\int_{0}^{1}x(y+1)\Big|_{-y}^y = \)
    \(\int_{0}^{1}(2y^2 +2y) dy = \frac{2y^3}{3} + y^2\Big|_{0}^1 = \frac{5}{3}\).
  2. \(M_y\) será dado por:
    \(M_y = {\int_{0}^{1}} \int_{-y}^{y}x(y+1)dxdy ={\int_{0}^{1}}\frac{x^2(y+1)}{2}\Big|_{-y}^y dy \)
    =\( {\int_{0}^{1}} \frac{y^2(y+1)}{2} - \frac{(-y)^2(y+1)}{2}dy={\int_{0}^{1}}0dy=0\).
  3. \(M_x\) será dado por:
    \(M_x = {\int_{0}^{1}} \int_{-y}^{y}y(y+1)dxdy = \int_{0}^{1}(2y^3+2y^2)dy = \frac{2y^4}{4} +\frac{2y^3}{3}\Big|_{-y}^y\)=
    \( \frac{2}{4} +\frac{2}{3} = \frac{7}{6} \).

\( \therefore \overline{x} = \frac{M_y}{m} = 0, \overline{y}=\frac{M_x}{m} = \frac{7}{6}*\frac{3}{5}=\frac{7}{10}\).

O centro de massa será o ponto \((0, \frac{7}{10})\).

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