Transformações lineares associadas a matrizes quadradas

Question

Seja \(A\) uma matriz quadrada de ordem 2.

Marque a alternativa VERDADEIRA:

(a) Se \(A^2=0\) então \(A=0\).

(b) Se \(A^2=A\) então \(A=I\) ou \(A=-I\).

(c) Se \(T(x)=Ax\) é uma transformação linear, onde \(A^2=0\), então a imagem de \(T\) pertence ao núcleo de \(T\).

(d) Se \(T(x)=Ax\), onde \(A^2=A\), então o núcleo de \(T(x)=Ax\) tem apenas um elemento.

(e) Se \(T(x)=Ax\), onde \(A^2=I\), então a imagem de \(T(x)=Ax\) não é o \(\mathbb{R}^2\).

Answer 1

(a) é FALSA pois \(A=\left[\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
0 & 0\\
\end{array}\right].\) é não nula.

(b) é FALSA pois existem várias matrizes que satisfazem a identidade dada incluindo a matriz nula.

(c) é VERDADEIRA. Note que a imagem de \(T\) é formada por \(y\) que satisfaz \(y=Ax\). Note que \(Ay=A^2 x=0\). Logo, \(y\) pertence ao núcleo.

(d) É FALSA, pois várias matrizes satisfazem essa identidade incluindo a matriz nula e a matriz identidade.

(e) É FALSA, pois se \(A^2=I\), \(A\) é linha equivalente a identidade. Portanto, a imagem de \(T\) é o \(\mathbb{R}^2\).