Função que é a combinação linear convexa de vetores Linearmente independentes

Question

Sejam \(u\) e \(v\) vetores Linearmente Independentes (LI) do \(\mathbb{R}^n\) e \(f: [0,1]\rightarrow \mathbb{R}^n\) dada por \(f(\lambda)=(1-\lambda) u + \lambda v\). Marque VERDADEIRO ou FALSO.

(i) Para todo \(\lambda \in [0,1]\), \(f(\lambda)\ne 0\).

(ii) Para todo \(\lambda,\mu \in [0,1]\), \(\lambda\ne \mu\), \(f(\lambda)\) e \(f(\mu)\) são vetores LI.

(iii) A função \(g:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}^n\), definida por \(g(\lambda)=f(\lambda)/||f(\lambda)||\) é injetora.

Answer 1

(i) VERDADEIRO. Como \(u\) e \(v\) são LIs, \(f(\lambda\)=0\) apenas quando \(\lambda=1-\lambda=0\), o que não é possível.

(ii) VERDADEIRO; Para \(f(\lambda)\) e \(f(\mu)\) serem LIs, a única solução da equação vetorial abaixo precisa ser a solução trivial \(c_1=c_2=0\):

\[c_1 f(\lambda) + c_2 f(\mu)=0\]

\[c_1 [(1-\lambda) u + \lambda v] + c_2 [(1-\mu) u + \mu v] =0\]

\[ [c_1 (1-\lambda) + c_2 (1-\mu)] u + [c_1 (\lambda) + c_2 (\mu)]v=0\]

Como \(u\) e \(v\) são LIs, então precisamos ter

\[ c_1 (1-\lambda) + c_2 (1-\mu)=0\]

\[c_1 (\lambda) + c_2 (\mu)=0\]

que é um sistema linear cuja única solução é \(c_1=c_2=0\) para \(\lambda\ne\mu\).

(iii) VERDADEIRO. Suponha que exista \(\lambda\ne \mu\) tal que \(g(\lambda)=g(\mu)\). Então \(\frac{f(\lambda)}{||f(\lambda)||}=\frac{f(\mu)}{||f(\mu)||} \). Isso implicaria que \(f(\lambda\) é uma combinação linear de \(f(\mu)\). Mas já vimos em (ii) que elas são LI.