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Problemas associados a operadores auto-adjuntos

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perguntada Out 12 em Matemática por danielcajueiro (5,356 pontos)  

Seja \(S(x)=Ax\) um operador auto-adjunto definido no \(\mathbb{R}^n\), isto é, \(\langle Ax,y \rangle = \langle x,Ay \rangle\) para todo \(x,y\in \mathbb{R}^n\).

(i) Se \(A\) é uma matriz formada apenas por números reais, então \(A\) é simétrica.

(ii) Se \(u\) e \(v\) são autovetores de \(A\) associados respectivamente aos autovalores \(\lambda\) e \(\delta\), onde \(\lambda\ne \delta\), então \(u\) é ortogonal a \(v\).

(iii) Sejam \(S(x)=Ax\) e \(T(x)=Bx\) operadores auto-adjuntos, onde \(A\) e \(B\) são matrizes reais. Se \(AB=BA\), então o operador \(U(x)=ABx\) é auto-adjunto.

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1 Resposta

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respondida Out 12 por danielcajueiro (5,356 pontos)  

(i) VERDADEIRA.
\(\langle Ax,y \rangle = y^\prime Ax\)
\(\langle x,Ay \rangle = y^\prime A^\prime x\)
Logo, da definição de operador auto-adjunto, temos \(y^\prime Ax= y^\prime A^\prime x\).

(ii) VERDADEIRA.

\(Au=\lambda u\).
\(Av=\delta v\).

Faça \(\langle Au,v \rangle = \langle u,Av \rangle \), onde a igualdade vem da definição do operador.

Ou seja, \(\langle \lambda u,v \rangle = \langle u,\delta v \rangle \Rightarrow \lambda \langle u,v \rangle =\delta \langle u,v \rangle \Rightarrow (\lambda-\delta) \langle u,v \rangle\)=0.

(iii) VERDADEIRA.

\(\langle ABx,y \rangle = \langle Bx,Ay \rangle = \langle x,BAy \rangle = \langle x,ABy \rangle \), onde a primeira igualdade é válida pois \(A\) é auto-adjunto, a segunda igualdade é válida pois \(B\) é auto-adjunto e a terceira igualdade é válida pois \(A\) e \(B\) comutam.

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