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Autovalores e autovetores de uma matriz especialmente interessante

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perguntada Out 12 em Matemática por danielcajueiro (5,356 pontos)  

Ache todos os autovalores e autovetores da matriz

\[A=\left[\begin{array}{cccccc} 10001 & 3 & 5 & 7 & 9 & 11\\ 1 & 10003 & 5 & 7 & 9 & 11\\ 1 & 3 & 10005 & 7 & 9 & 11\\ 1 & 3 & 5 & 10007 & 9 & 11 \\ 1 & 3 & 5 & 7 & 10009 & 11 \\ 1 & 3 & 5 & 7 & 9 & 10011 \\ \end{array}\right]\]

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1 Resposta

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respondida Out 12 por danielcajueiro (5,356 pontos)  

Note que a soma de cada uma das linhas é igual a 10036. Logo assim como a matriz apresentada aqui ela possui um autovalor igual 10036 e um autovetor igual a \([1,1,1,1,1,1]^\prime\).

Os outros autovalores também são triviais, pois um autovalor é aquele que faz com que \(|A-\lambda I|=0\). Note que se \(\lambda=10000\) todas as linhas são iguais e consequentemente o determinante é zero. Precisamos achar os autovetores associados a esse autovalor. Para isso resolvemos o sistema

\[1 x_1 + 3x_2 + 5 x_3 + 7 x_4 + 9 x_5 + 11 x_6=0\]

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