Primeira vez aqui? Seja bem vindo e cheque o FAQ!
x

Completeza do espaço de sequências com suporte finito

+1 voto
9 visitas
perguntada Out 12 em Matemática por Matheus J. Silva (21 pontos)  

Seja \(V\) o espaço vetorial das sequências infinitas \(x=(x_1,x_2,...)\) que possuem apenas um número finito de termos \(x_n\) não nulos. Mostre que:

a) \(\langle x,y\rangle=\sum_n{x_ny_n}\) define um produto interno em \(V\);

b) \(V\) não é um espaço de Hilbert e escreva uma base ortonormal para \(V\).

Compartilhe

1 Resposta

+1 voto
respondida Out 12 por Matheus J. Silva (21 pontos)  
selecionada Out 13 por danielcajueiro
 
Melhor resposta

Sequências infinitas com número finito de elementos não-nulos são ditas sequências de suporte finito, isto é, a partir de determinada posição dessas sequências, todos os elementos são nulos.

a) Considere elementos \(x,y,z\in V\) tq \(x=(a_1,a_2,...,a_m,0,...)\), \(y=(b_1,b_2,...,b_n,0,...)\) e \(z=(c_1,c_2,...,c_l,0,...)\) e \(\alpha\in\mathbb{R}\). Verifiquemos que a operação definida no enunciado satisfaz às propriedades de um produto interno: i) Note que \(\langle x,y\rangle=\sum_i{a_ib_i}=\sum_i{b_ia_i}=\langle y,x\rangle\); ii) Fazemos agora \(\langle \alpha x+y,z\rangle=\sum_i{(\alpha a_i+b_i)z_i}=\alpha\sum_i{a_iz_i}+\sum_i{b_iz_i}=\alpha\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle\); e iii) \(\langle x,x\rangle=\sum_i{a_i^2\geq0}\) e somente será nulo se \(a_i=0,\forall i\), que implica que \(x=0\).

b) Já mostramos que \(V\) é um espaço de produto interno. No entanto, não é um espaço completo. Considere uma sequência \(\{y_n\}\in V\) em que \(y_n(k)=1/k, \text{se } 1\leq k\leq n \text{; }0 \text{ c.c}\). Isso quer dizer simplesmente que estamos considerando sequências do tipo \(y_2=(1,\frac{1}{2},0,...)\) e\(y_5=(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},0,...)\) por exemplo.

Note que essa sequência é uma sequência de Cauchy, pois, se \(m< n\) segue que \(||y_m-y_n||=\left(\sum^n_{k=m+1}{\frac{1}{k^2}}\right)^{\frac{1}{2}}\leq \left(\frac{N+1}{N^2}\right)^{\frac{1}{2}}\), pois estamos procurando \(m,n > N\). Então, dado qualquer \(\varepsilon>0\) podemos obter \(N\) tal que \(||y_m-y_n|| < \varepsilon, m,n > N\). Em particular, resolvendo a expressão anterior, obtemos a seguinte expressão \(N_\varepsilon=\frac{1+\sqrt{1+4\varepsilon^2}}{2\varepsilon^2}\). Note, no entanto, que essa sequência não converge no próprio espaço, uma vez que no limite ela não tem suporte finito.

Uma base ortonormal para \(V\) é simplesmente \(\{e_i\}\), em que \(e_i\) é um vetor de zeros, exceto na \(i\)-ésima posição, a qual é 1. Notadamente, quaisquer pares de vetores desse conjunto são ortogonais e qualquer sequência \(x_n\in V\) pode ser escrita como uma combinação linear finita de \(e_i\)'s, já que \(x_n=0,n > N\).

...