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x

Seja \(Q\) o sólido determinado pelas seguintes superfícies. Calcule seu centro de massa.

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perguntada Out 13 em Matemática por Stuart Mill (494 pontos)  

Restrições:
\(z=0, z= 2- 4x, x^2 + 4y^2 = 4 \)

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1 Resposta

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respondida Out 13 por Stuart Mill (494 pontos)  
selecionada Out 29 por danielcajueiro
 
Melhor resposta

Passo 1: Definir o domínio transformado.

Das restrições, podemos inicialmente definir \( z \in[0, 2-4x]\). Para facilitar, utilizaremos a bijeção \(x = u, 2y=v \implies u^2 + v^2 = 4 \). O Jacobiano dessa bijeção será o determinante da matriz cujas linhas são o gradiente da fas funções \(x(u,v) \) e \(y(u,v)\), i.e. :
\( x_u (u,v) y_v(u,v) - x_v (u,v) y_u(u,v) = 1*\frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}\).

Passo 2: Fazer nova transformação para coordenadas polares

Percebendo que agora u e v descrevem um círculo, podemos fazer a transformação \(u = rcos(a) \) e \(v = rsen(a) \) , sendo a o ângulo entre o raio e o plano horizontal. O Jacobiano dessa transformação será, naturalmente, r. O raio varia entre 0 e 2, e o ângulo entre 0 e \(2\pi\). Portanto, a integral da massa será:

\( M = \frac{\delta_0}{2} {\int_{0}^{2\pi}}{\int_{0}^{2}}{\int_{0}^{2-4rcos(a)}}rdzdrda = \frac{\delta_0}{2} {\int_{0}^{2\pi}}{\int_{0}^{2}}(2 - 4rcos(a))rdrda = \)
\(\delta_{0} {\int_{0}^{2\pi}}{\int_{0}^{2}}( 1- 2rcos(a))rdrda = \delta_{0} {\int_{0}^{2\pi}}( \frac{r^2}{2} -\frac{2r^3}{3}cos(a)\Big|_0^2)da = \)
\(\delta_{0} {\int_{0}^{2\pi}}( \frac{r^2}{2} -\frac{2r^3}{3}cos(a)\Big|_0^2)da = \)
\(\delta_{0} {\int_{0}^{2\pi}}( 2 -\frac{16}{3}cos(a)\Big|_0^2)da = \)
\(\delta_{0} ( 2a -\frac{16}{3}sen(a)\Big|_0^{2\pi} = 4\pi\delta_0 - 0\), utilizando o fato de que a função seno se anula nesses extremos.

\( \therefore M = 4\pi\delta_0 \)

Passo 3: Calculando os centros de massa

Para calcular a coordenada x do centro de massa e aproveitando as substituições realizadas anteriormente, temos:

\(M_{yz} = \delta_{0} {\int_{0}^{2\pi}}{\int_{0}^{2}}( rcos(a)- 2r^2cos^2(a))rdrda = \)
\(\delta_{0} {\int_{0}^{2\pi}}( \frac{r^3}{3}cos(a)- \frac{r^4}{2}cos^2(a))\Big|_0^2)da =\delta_{0} {\int_{0}^{2\pi}}( \frac{8}{3}cos(a)- 8cos^2(a)) da = \)
\(\delta_{0} ( \frac{8}{3}sen(a){\Big|_0^{2\pi}} - 8(\frac{a}{2} {\Big|_0^{2\pi}} + \frac{sen(2a)}{4} {\Big|_0^{2\pi}}) = -8\pi\delta_0 \).

Para a coordenada y, temos (fazendo \( y = \frac{v}{2}\):

\(M_{xz} = \frac{\delta_{0}}{2} {\int_{0}^{2\pi}}{\int_{0}^{2}}( r^2sen(a)- 2r^3cos(a)sen(a))drda = \)
\(\frac{\delta_{0}}{2}{\int_{0}^{2\pi}}( \frac{r^3}{3}sen(a)- \frac{r^4}{2}cos(a)sen(a))\Big|_0^2)da =\)
\(\frac{\delta_{0}}{2}{\int_{0}^{2\pi}}( \frac{8}{3}sen(a)- 8sen(a)cos(a)) da = \frac{\delta_{0}}{2} [\frac{8}{3}*-cos(a){\Big|_0^{2\pi}} + \frac{8cos^2(a)}{2} {\Big|_0^{2\pi}}]\)
\(=0\),
já que a função cosseno é igual quando avaliada em cada um dos extremos.

Para a coordenada z, temos:

\( M_{xy} = \frac{\delta_0}{2} {\int_{0}^{2\pi}}{\int_{0}^{2}}{\int_{0}^{2-4rcos(a)}}zrdzdrda =\)
\( \frac{\delta_0}{4} {\int_{0}^{2\pi}}{\int_{0}^{2}}(2-4rcos(a))^2rdzdrda = {\delta_0} {\int_{0}^{2\pi}}{\int_{0}^{2}}(1-2rcos(a))^2rdzdrda=\)
\({\delta_0} {\int_{0}^{2\pi}}(\frac{r^2}{2} - \frac{4r^3}{3} + cos^2(a)r^4\Big|_0^2)da = \delta_{0}[(2-\frac{32}{3})a{\Big|_0^{2\pi}} + 16(\frac{a}{2}{\Big|_0^{2\pi}} +\) \(\frac{sen(2\pi)}{4}{\Big|_0^{2\pi}})] = \delta_0(\frac{-26\pi}{3} + 16\pi ) = {\delta_0}\frac{22\pi}{3} \)

\( \therefore (\overline{x}, \overline{y}, \overline{z}) = (\frac{M_{yz}}{M},\frac{M_{xz}}{M}, \frac{M_{xy}}{M}) = (-2,0,\frac{11}{6})\)

...