Primeira vez aqui? Seja bem vindo e cheque o FAQ!
x

Calcule o centro de massa do cone centrado na origem de raio R e altura H

+1 voto
16 visitas
perguntada Out 20 em Matemática por Stuart Mill (494 pontos)  

Seja Q o cone reto de raio R, altura H e vértice na origem com densidade \(\delta(x,y,z)=\delta_0\).

  1. Esboce o sólido Q usando um programa gráfico.
  2. Calcule a massa de Q.
  3. Calcule o centro de massa de Q.
Compartilhe

1 Resposta

+1 voto
respondida Out 20 por Stuart Mill (494 pontos)  
selecionada Out 29 por danielcajueiro
 
Melhor resposta

1) Gráfico gerado no Maple 13.
A imagem será apresentada aqui.

2) Descrevendo o domínio original: \( Q = \{(x,y,z); x^2 + y^2 \leq R^2 , \frac{H}{R}\sqrt{x^2 + y^2} \leq z \leq H\} \). Note que o limite inferior do intervalo de z vem da tangente multiplicando o raio (a distância em relação ao eixo z, considerando z=0). Com a bijeção para a passagem para coordenadas polares, têm-se o domínio \( Q'\):
\( Q' = \{(r,\theta,z): \theta \in (0,2\pi), r \in (0,\frac{zR}{H}), z \in (0, H)\} \). Essa forma de domínio será mais conveniente para o cálculo da integral, a saber:
\( M = {\int_0^{2\pi}}{\int_0^H}{\int_0^{\frac{zR}{H}}} {\delta_0} r dr dz{d\theta} = {\delta_0} {\int_0^{2\pi}}{\int_0^H}\frac{r^2}{2} {\Big|_0^\frac{zR}{H}}dz{d\theta} = \)
\({\delta_0} {\int_0^{2\pi}}{\int_0^H} \frac{{z^2}{R^2}}{2H^2}dz{d\theta} = {\delta_0}(2\pi)[\frac{R^2 z^3}{6H^2}{\Big|_0^H} = \frac{ \delta_0 R^2 H \pi}{3} \)

3)

a) Coordenada z:

Temos \(M_{xy} = \iiint_Q z\delta_0 dxdydz = \delta_0\iiint_{Q'} zr dr dz{d\theta} = \delta_0 {\int_0^{2\pi}}{\int_0^H}{\int_0^{\frac{zR}{H}}}zrdz{d\theta}= \)
\(\delta_0 2\pi {\int_0^H} \frac{zr^2}{2}{\Big|_0^{\frac{zR}{H}}} dz = \delta_0 \pi \frac{R^2}{H^2}\frac{z^4}{4}{\Big|_0^H} = \frac{\delta_0 \pi R^2 H^2}{4} \implies \overline{z} = \frac{M_{xy}}{M} = \frac{3H}{4} \)

b) Coordenadas x e y:

Pela simetria do cone em relação à origem para x e y, podemos concluir que seus centros de massa são nulos. De fato, é simples verificar por integrais análogas que:
\(M_{zy} = M_{zx} = 0 \implies \overline{x} = \overline{y} = 0. \)
\( \therefore (\overline{x}, \overline{y}, \overline{z}) = (0,0,\frac{3H}{4})\) constitui solução para o problema.

...