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Qual o equilíbrio em economia com mercado incompleto antes e depois de uma inovação financeira

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perguntada Out 22 em Finanças por Pablo Castro (26 pontos)  
editado Nov 1 por Pablo Castro

Considere uma economia com dois períodos, com dois consumidores que não consumem no primeiro período com funções de utilidade \(U^i\) e dotações iniciais \(w^i\), dois ativos e três estados da natureza no segundo período: \[U^1(c_1, c_2, c_3)=log(c_1) + log(c_2) \qquad \qquad w^1=(0,1,2)\] \[U^2(c_1, c_2, c_3)=log(c_2) + log(c_3)\qquad \qquad w^2=(2,1,0)\] \[S=3,\quad J=2,\quad \ {\bf X}= \left[\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1\\ 0&1 \end{array}\right] \]

a) Encontre os planos de consumo e o equilíbrio de preços.

Considere um terceiro ativo: \((0,0,1)'\)

b) É possível replicar esse terceiro ativo usando os dois outros ativos?

c) Na ausência de arbitragem, qual intervalo de preços possíveis para esse ativo?

d) Determine agora o equilíbrio da economia considerando um mercado com os três ativos. Qual o efeito dessa inovação financeira?

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1 Resposta

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respondida Nov 1 por Pablo Castro (26 pontos)  
editado 3 dias atrás por Pablo Castro

a) Sabemos o problema geral de escolha do investidor é
\[ \begin{eqnarray*} \max_{c^i, h^i} & u^i(c^i) \\ \text{s.a.:} & \quad c^i_0 \leq w^i_0 - \langle p,h \rangle\\ & c^i_{1s} \leq w^1_{1s} + Xh\\ & c^i_0, c^i_{1s} \geq 0 \end{eqnarray*} \] e para este exercício, o vetor de payoffs Xh é dado por:

\[ Xh= \left[\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1\\ 0&1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} h^i_1 \\ h^i_2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} h^i_1 \\ h^i_2 \\ h^i_2 \end{array}\right] \]

Os índices seguem a formatação padrão, os sobrescritos se referem ao investidor e os subscritos ao tempo e ao estado da natureza. Como temos que \(c^i_0=0\) para \(i=1,2\), para manter a notação simples, iremos ocultar a subscrito referente ao tempo, ficando apelas o referente ao estado da natureza. Considere o Problema do investidor 1:

\[ \begin{eqnarray} \max_{c^1,h^1} & \quad log(c^1_1) + log(c^1_2)\nonumber\\ \text{s.a.:} & p_1h^1_1 + p_2h^1_2 \leq 0 \tag{1}\\ &c^1_1 \leq 0 + h^1_1 \tag{2}\\ &c^1_2 \leq 1 + h^1_2 \tag{3}\\ &c^1_3 \leq 2 + h^1_2 \tag{4}\\ &c^1_1, c^1_2, c^1_3 \geq 0 \nonumber \end{eqnarray} \]

O Lagrangeano para este problema é dado por:

\[ \begin{align*} \mathcal{L}=log(c^1_1)+log(c^1_2) - \mu(p_1h^1_1 + p_2h^1_2) & + \lambda_1(h^1_1-c^1_1) \\ & + \lambda_2(1+h^1_2-c^1_2) \\ & + \lambda_3(2+h^1_2-c^1_3) \end{align*} \]

e as CPO's:

\[ \{c^1_1\}: \frac{1}{c^1_1}=\lambda_1\\ \{c^1_2\}: \frac{1}{c^1_2}=\lambda_2\\ \{c^1_3\}: \lambda_3=0\\ \{h^1_1\}: \lambda_1=\mu p_1\\ \{h^1_2\}: \lambda_2+\lambda_3=\mu p_2 \Rightarrow \lambda_2=\mu p_2\\ \]

Da primeira e segunda CPO, temos que:

\[ \begin{eqnarray} \frac{p_1}{p_2}=\frac{c^1_2}{c^1_1} \tag{5} \end{eqnarray} \] e como o consumo no terceiro estado da natureza não atribui nenhuma utilidade ao investidor 1, temos que \(c^1_3=0\).
Normalizando \(p_2=1\), \(p_1=\frac{c^1_2}{c^1_1}\) então temos que, da restrição \((1)\), \(\frac{c^1_2}{c^1_1}h^1_1+h^12=0\). A restrição \((2)\) implica que \(c^1_1=h^1_1\), logo, podemos reescrever a equação anterior como \(c^1_2=-h^1_2\).

Da restrição \((3)\) temos que \(-h^1_2=1+h^1_2\), de modo a:
\[ \begin{eqnarray} h^1_2=\frac{-1}{2} \tag{6}\\ c^1_2=\frac{1}{2} \tag{7} \end{eqnarray} \] Note que a restrição \((4)\) não é ativa.

Considere agora o Problema do investidor 2:

\[ \begin{eqnarray} \max_{c^2,h^2} & log(c^2_2) + log(c^2_3)\nonumber\\ \text{s.a.:} & p_1h^2_1 + p_2h^2_2 \leq 0 \tag{8}\\ &c^2_1 \leq 2 + h^2_1 \tag{9}\\ &c^2_2 \leq 1 + h^2_2 \tag{10}\\ &c^2_3 \leq 0 + h^2_2 \tag{11}\\ &c^2_1, c^2_2, c^2_3 \geq 0 \nonumber \end{eqnarray} \] Analogamente ao problema anterior, temos que \(c^2_1=0\), já que o consumo no primeiro estado da natureza não atribui nenhuma utilidade ao investidor 2. Assim, a restrição \((9)\) é inativa e as restrições \((10)\) e \((11)\) são satisfeitas com igualdade.

Como, para o investidor 2, não há consumo no primeiro estado da natureza, investir \(h^2_1\) não trás utilidade alguma para ele, assim, 2 investe o menor valor possível para \(h^2_1\). Assumindo \(c^2_1=0\) e substituindo em \((9)\):

\[ \begin{eqnarray} -h^2_1 \leq 2 - c^2_1 \Rightarrow h^2_1 \geq -2 \nonumber\\ \text{logo:} \qquad h^2_1=-2 \tag{12} \end{eqnarray} \] E, pela condição de market-clearing, \(h^1_1=2\). Note que, para o investidor 1, o consumo no primeiro estado da natureza o atribui utilidade, logo ele irá consumir o máximo possível, e como o investidor 2 é indiferente entre consumir ou não nesse estado, o aumento de \(c^1_1\) melhora 1 sem piorar 2, de sorte que \(c^1_1=2\) é uma alocação Pareto-eficiente e, pelo Primeiro Teorema do Bem-Estar, toda alocação de equilíbrio é Pareto-eficiente.

Por fim, temos que, pela condição de market-clearing e de \((2)\), \(h^1_1=2=c^1_1\); de \((10)\), \(c^2_2=1+\frac{1}{2}=3/2\); de \((11)\), \(c^2_3=1/2\); e de \((5)\), \(p_1/p_2 = \frac{1}{2}/2 = 1/4\). Logo, para esta economia, o equilíbrio é um vetor de preços p tal que \(p_1/p_2 = 1/4\), alocações \(h^i=\{h^1=(2,-\frac{1}{2});h^2(-2,\frac{1}{2})\}\) e planos de consumo \(c^i=\{c^1=(2,\frac{1}{2},0);c^2=(0,\frac{3}{2},\frac{1}{2})\}\) tais que resolvem o problema de escolha do investidor \(i=1,2\) e satisfazem as condições de market-clearing.

b) Sejam \(a\) e \(b \in \mathbb{R}\):

\[ a \left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right] + b \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right] \Rightarrow \begin{array}{c} a + 0 = 0\\ 0 + b = 0\\ 0 + b = 1 \end{array} \] Não é possível replicar o ativo \((0,0,1)'\) usando os outros dois ativos.

c) Sejam \(x_1=(1,0,0)',\quad x_2=(0,1,1)'\quad e \quad \widehat{z}=(0,0,1)'\) e \[ \mathcal{M}=span\{x_1,x_2\} \Rightarrow \mathcal{M}=\{z \in \mathbb{R} : ax_1+bx_2=z \quad \text{para} \quad a, b \in \mathbb{R}\} \] temos que \(\widehat{z} \not\in \mathcal{M}\) - vide letra (b). Também iremos normalizar \(p_1=1\) e \(p_2=4\). Podemos resolver usando o problema de Programação Linear:

\[ \begin{eqnarray*} \max \quad &h_1 + 4h_2 \\ \text{s.a.:} & h_1 \leq 0 \\ & h_2 \leq 0 \\ & h_2 \leq 1 \end{eqnarray*} \]

A imagem será apresentada aqui.

A região de factível para este problema é o quadrante \((-,-)\). A solução gráfica é: \((h^*_1,h^*_2)=(0,0)\), logo \(q_l(\widehat{z})=0\).

\[ \begin{eqnarray*} \min \quad &h_1 + 4h_2 \\ \text{s.a.:} & h_1 \geq 0 \\ & h_2 \geq 0 \\ & h_2 \geq 1 \end{eqnarray*} \]

Pelo gráfico anterior, podemos notar que a solução gráfica é: \((h^*_1,h^*_2)=(0,1)\), logo \(q_u(\widehat{z})=4\).

Portanto, o intervalo de possíveis preços para esse ativo é: \[q_l(\widehat{z})=0 \leq \pi \leq q_u(\widehat{z})=4\]

d) Note que a inovação financeira completa o mercado, logo, qualquer alocação deve ser factível. Assim, podemos ter o problema de escolha do investidor da seguinte forma:

\[ \begin{eqnarray*} \max_{c^i} & u^i(c^i) \\ \text{s.a.:} & \quad \langle p,c^i \rangle = \langle p,w^i \rangle \end{eqnarray*} \] e a condição de market-clearing é \( \sum_i c^i_s = \sum_i w^i_s \forall s \in S\).

Considere o Problema do investidor 1:

\[ \begin{eqnarray*} \max_{c^1} & log(c^1_1) + log(c^1_2)\\ \text{s.a.:} & \sum_{s \in S} p_sc^1_s \leq \sum_{s \in S} p_sw^1_s \\ &c^1_1, c^1_2, c^1_3 \geq 0 \end{eqnarray*} \] O Lagrangeano do problema é \[\mathcal{L}=ln(c^1_1)+ln(c^1_2) - \lambda(p_1c^1_1 + p_2c^1_2 + p_3c^1_3 - p_1w^1_1 + p_2w^1_2 + p_3w^1_3)\] Sabemos que \(c^1_3=0\) e as CPO's do problema são:

\[ \{c^1_1\}: \frac{1}{c^1_1}=\lambda p_1\\ \{c^1_2\}: \frac{1}{c^1_2}=\lambda p_2\\ \]

Das CPO's, concluimos que:
\[ \begin{eqnarray} \frac{p_1}{p_2}=\frac{c_2}{c_1} \tag{13} \end{eqnarray} \] Considere o Problema do investidor 2:

\[ \begin{eqnarray*} \max_{c^2} & log(c^2_2) + log(c^2_3)\\ \text{s.a.:} & \sum_{s \in S} p_sc^2_s \leq \sum_{s \in S} p_sw^2_s \\ &c^2_1, c^2_2, c^2_3 \geq 0 \end{eqnarray*} \] O Lagrangeano do problema é \[\mathcal{L}=ln(c^2_2)+ln(c^2_3) - \lambda(p_1c^2_1 + p_2c^2_2 + p_3c^2_3 - p_1w^2_1 + p_2w^2_2 + p_3w^2_3)\] Sabemos que \(c^2_1=0\) e as CPO's do problema são:

\[ \{c^2_2\}: \frac{1}{c^2_2}=\lambda p_2\\ \{c^2_3\}: \frac{1}{c^2_3}=\lambda p_3\\ \]

Das CPO's, concluimos que:

\[ \begin{eqnarray} \frac{p_2}{p_3}=\frac{c_3}{c_2} \tag{14} \end{eqnarray} \] Da condição de market-clearing temos que:

\[ \begin{eqnarray*} c^1_3=0 \Rightarrow c^2_3=2\\ c^2_1=0 \Rightarrow c^1_1=2 \end{eqnarray*} \] E de \((13)\) e \((14)\) temos que: \[c^1_2+c^2_2=w^1_2+w^2_2=2 \Rightarrow c^1_1\frac{p_1}{p_2} + c^2_3\frac{p_3}{p_2} = 2 \Rightarrow 2\frac{p_1}{p_2} + 2\frac{p_3}{p_3} = 2 \Rightarrow \] \[ \Rightarrow \frac{2(p_1+p_2)}{p_2} = 2 \] Logo:
\[ \begin{eqnarray} p_1 + p_3 = p_2 \tag{15} \end{eqnarray} \]

Reescrevendo a restrição:
\[ \begin{eqnarray} p_1(c^1_1-0)+p_2(2\frac{p_1}{p_2}-1)+p_3(c^1_3-2)=0 \nonumber \\ 2p_1 + 2p_1 - p_2 - 2p_3=0 \nonumber \\ 4p_1 - 2p_3 = p_2 \tag{16} \end{eqnarray} \] Igualando \((15)\) e \((16)\) chegaremos em \(p_1=p_3\) e, substituindo novamente, teremos \(2p_1=p_2\). Logo, normalizando \(p_1=1\), o equilíbrio será \(p=(1,2,1)'\).

Por fim, das condições de market-clearing, substituindo os preços nas restrições \((2)\), \((3)\) e \((4)\) para o investidor 1 e \((9)\), \((10)\) e \((11)\) para o investidor 2 e notando que, com a inovação financeira, o vetor payoffs passa a ser:

\[ Xh= \left[\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&1&1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} h^i_1 \\ h^i_2 \\ h^i_3 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} h^i_1 \\ h^i_2 \\ h^i_2 + h^i_3 \end{array}\right] \] teremos:

\[ \begin{array}{ll} c^1_1=h^1_1 \Rightarrow h^1_1=2 & h^2_1=-2 \\ c^1_2=1+h^1_2 \Rightarrow h^1_2=1-1=0 & h^2_2=0 \\ c^1_3=2+h^1_2+h^1_3 \Rightarrow h^1_3=-2 & h^2_3 =2 \end{array} \]

Logo, com a inovação financeira, o equilíbrio passa a ser um vetor de preços p tal que \(p=(1,2,1)'\), uma plano de consumo \(c^i=\{c^1=(2,1,0);c^2=(0,1,2)\}\) e alocações \(h^i=\{h^1=(2,0,-2);h^2=(-2,1,2)\}\) tais que resolvem o problema de escolha do investidor \(i=1,2\) e satisfazem as condições de market-clearing.

comentou 1 dia atrás por MarcioGama (86 pontos)  
Pablo, excelente resolução. Vou destacar apenas um detalhe. No problema de otimização, como as funções utilidades são estritamente crescentes as restrições são ativas logo, você poderia substitui-las na função utilidade e resolver o problema para os "h" que seria mais simples.
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