Primeira vez aqui? Seja bem vindo e cheque o FAQ!
x

Mostre que o seguinte sistema é ortogonal e construa a partir dele um sistema ortonormal

0 votos
22 visitas
perguntada Out 29 em Matemática por Stuart Mill (494 pontos)  

Seja \( W = \{sen(2\pi nt); n \in \mathbb{N} \}\).

a) Mostre que W é um sistema ortogonal.
b) Construa a partir de W um sistema ortonormal.

Compartilhe

1 Resposta

0 votos
respondida Out 29 por Stuart Mill (494 pontos)  
editado Out 29 por Stuart Mill

a) Seja X o espaço com produto interno de todas as funções reais e contínuas em [0,1] com produto interno definido por:

\( < x, y > := \int_0^1 x(t)y(t)dt \).

Seja \( u_n (t) = sen(2\pi nt)\), n=1,..., uma sequência de elementos desse conjunto.

Para que o sistema seja ortogonal, \(< u_m , u_n> \) é não nulo se , e somente se, \( m=n \). Vamos analisar os três casos separadamente.

1. \(m \neq n \)

\(< u_m , u_n> = \int_0^1 sen(2\pi nt)sen(2\pi mt) dt =\)

\( \int_0^1 \frac{-cos(2\pi mt + 2\pi nt) + cos(2 \pi mt - 2\pi nt)}{2} dt\ \),

por identidade trigonométrica (Prosthaphaeresis).

A partir daí seja \(m+n = a, m-n = b\), temos:

\( \int_0^1 \frac{-cos(2\pi mt + 2\pi nt) + cos(2 \pi mt - 2\pi nt)}{2} dt = - \frac{1}{4\pi a}sen(2\pi at) |_0^1 + \frac{1}{4\pi bt}sen(2\pi bt)|_0^1\ \)

\(= - \frac{1}{4\pi a}sen(2\pi a) + \frac{1}{4\pi bt}sen(2\pi b) = 0 \),

pela periodicidade da função seno. Portanto, esta condição para ortogonalidade se satisfaz.

2. \(m = n = 0\)

O caso é trivial:

\(m=n=0 \implies < u_m , u_n> = < u_0 , u_0> = \int_0^1 sen(0)sen(0)dt = \)
\( \int_0^1 0dt = 0\).

Portanto, para ser mais específico e inambíguo, o conjunto é ortogonal apenas para todo \( n \in \mathbb{N}^*\), i.e., todos os inteiros positivos.

Obs.: Se tomássemos o conjunto \(Q = \{cos(2\pi nt); n=0,1,..., \} \), ele sim seria ortogonal para todo inteiro não-negativo, i.e., incluindo o 0.

3. \(m=n=1, 2, 3, ... \)
\(m=n=c > 0 \implies < u_m , u_n> = < u_ c, u_c> = \int_0^1 sen^2 (2\pi ct)dt = \)

\( \frac{1}{2\pi c} \int_{\phi}^{\omega} sen^2(u)du\),

fazendo a substituição e denotando \( \phi , \omega \) os intervalos correspondentes.

Usando a identidade \(sen^2(x) = 1 - cos^2(x) = 1 - (\frac{1 + cos(2x)}{2} ) = \frac{1- cos(2x)}{2} \), temos:

\( \frac{1}{2\pi c} \int_{\phi}^{\omega} sen^2(u)du = \frac{1}{4\pi c} \int_{\phi}^{\omega} 1 - cos(2u) du = \frac{1}{4\pi c} [u|_{\phi}^{omega} - \frac{sen(2u)}{2}|_{\phi}^{\omega} \) =

\( \frac{1}{4\pi c} [2\pi ct |_0^1 - \frac{sen(4\pi ct)}{2} |_0^1] = \frac{1}{2}\)

Assim, de fato, o produto interno de um elemento do conjunto por ele mesmo é não nulo.

b) Seja \( e_n (t) = u_n (t) \sqrt{2} \implies < e_n (t), e_n (t) > = \)

\( \int_0^1 [\sqrt{2}sen(2\pi nt)][\sqrt{2}sen(2 \pi nt)] dt = 2 < u_n (t) , u_n (t) > = 1 \) ,

para \( m=n=1, 2, ... \)

Assim, temos que:
\( < e_n (t), e_n (t) > = 1 \) se \( n \in \mathbb{N}^*\)
\( < e_m (t), e_n (t) > = 0 \) se \( m \neq n;m,n \in \mathbb{N}^* \)

Finalmente, \(W^* = \{ \sqrt{2}sen(2\pi nt) : n \in \mathbb{N}^* \} \) constitui um sistema ortonormal nas condições definidas inicialmente.

...