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Ortonormalização de Gram-Schmidt

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perguntada Nov 2 em Matemática por Matheus J. Silva (26 pontos)  

Descreva o processo de Ortonormalização de Gram-Schmidt. Mostre suas características principais e a intuição por trás desse importante resultado. Aplique esse procedimento para ortonormalizar as primeiras potências \(1,x,x^2,...\) no espaço \(C[-1,1]\). Explore o resultado mostrando que as funções resultantes são proporcionais aos polinômios de Legendre e justifique a importância desses polinômios.

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1 Resposta

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respondida Nov 2 por Matheus J. Silva (26 pontos)  
editado Nov 5 por Matheus J. Silva

O processo de ortonormalização de Gram-Schmidt consiste em um algoritmo que produz uma base ortonormal para um espaço vetorial a partir de uma base qualquer deste espaço, isto é, um conjunto de elementos linearmente independentes. Recorde que uma base ortonormal consiste num conjunto de elementos que não são somente linearmente independentes, mas também são ortogonais e unitários.

Como todo espaço vetorial de dimensão finita possui uma base, segue que todo espaço vetorial de dimensão finita tem uma base ortonormal. A ideia do processo é intuitiva. Recorde o Teorema da Projeção Ortogonal: se \(V\) é um espaço de produto interno e \(W\) um subespaço de dimensão finita de \(V\), qualquer elemento \(x\in V\) pode ser escrito de forma única como a soma de um elemento \(q\in W\) com outro \(n\bot W\). Segue que qualquer elemento perpendicular a \(W\) pode ser escrito como um \(x-q\), i.e., um vetor de \(V\) menos sua projeção ortogonal no espaço. Esse é o principal princípio por trás do processo do ortonormalização de Gram-Schimidt.

Procedemos da seguinte forma: tomamos o primeiro elemento da base ortonormal como sendo o primeiro elemento da base original normalizado, isto é, multiplicado pelo inverso da norma (induzida pelo produto interno). O segundo elemento da base ortonormal será ortogonal ao primeiro de forma que possa ser escrito como o segundo elemento menos a projeção ortogonal dele no primeiro elemento. Em seguida ele é normalizado. O processo segue desta maneira: tomamos o \(n\)-ésimo vetor da base original e o subtraímos da sua projeção no espaço gerado pelos \(n-1\) vetores anteriores a ele da base e, em seguida, o normalizamos.

Formalmente, seja \(\{w_1,...,w_n\}\) uma base para \(W\). A projeção de um vetor \(v\) em um vetor \(u\) denotaremos por \(\pi_u(v)=\frac{\langle v, u \rangle}{\langle u, u\rangle}u\). A base ortonormal é \(\{e_1,...,e_n\}\) de tal forma que \(e_1=\frac{u_1}{||u_1||}\) em que \(u_1=w_1\); \(e_2=\frac{u_2}{||u_2||}\) em que \(u_2=w_2-\pi_{u_1}(w_2)\); \(e_3=\frac{u_3}{||u_3||}\) em que \(u_3=w_3-\pi_{u_1}(w_3)-\pi_{u_2}(w_3)\); e assim sucessivamente.

Obtemos uma base ortonormal para qualquer espaço de dimensão finita e algumas outras propriedades interessantes como o fato de que cada \(e_i\) é ortogonal a todos \(x_1,...,x_{i-1}\) e que sua norma representa a distância de \(x_i\) desse subespaço.

Façamos esse processo para a base do espaço de polinômios de grau \(n\), i.e., \(\{1,x,x^2,...\}\). Note que estamos falando do espaço de funções contínuas \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) com norma usual de \(L^2\) (a saber, para \(L^p\): \(\ ||f||=\left(\int{f^p\text{d}x}\right)^{1/p}\)), mas vamos nos restringir a \(C[1,-1]\).

Definimos \(u_1=1\). Assim \( ||u_1||=(\int_{-1}^1{1\text{d}x}=2)^{1/2}\) e \(e_1=\sqrt{\frac{1}{2}}\). Agora, definimos \(u_2=x-\pi_{u_1}(x)=x\) (note que \(\int_{-1}^1{x\text{d}x}=0\) ) tq \( ||u_2||=\sqrt{\frac{2}{3}}\) e \(e_2=x\sqrt{\frac{3}{2}}\). Prosseguimos dessa mesma forma para \(x^2\) e obtemos \(u_3=\frac{3x^2-1}{3}\), \( ||u_3||=\sqrt{\frac{8}{45}}\) e \(e_3=\frac{\sqrt{5}(3x^2-1)}{\sqrt{8}}\). Prosseguimos assim e obtemos os demais elementos da base ortonormal, que são de fato proporcionais aos polinômios de Legendre. Nesses casos, o primeiro polinômio de Legendre é \(1\), o segundo é \(x\) e o terceiro é \(\frac{1}{2}(3x^2-1)\).

Uma vez que os polinômios de Legendre são proporcionais ao da base ortonormal obtida, é mantida a propriedade de ortogonalidade. Com isso, qualquer função ou série infinita que possa ser descrita como polinômios poderá ser também obtida a partir da combinação de elementos ortogonais e unitários, o que é realmente interessante e muito útil em determinadas aplicações.

Como exemplo, uma aplicação desse processo em Geometria Diferencial consiste na obtenção de um referencial ortonormal em variedades diferenciáveis a partir de um referencial ortonormal em \(\mathbb{R}^n\) e o coreferencial e formas de conexão associados.

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