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Considere uma economia com dois períodos e um agente representativo

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perguntada Nov 8 em Finanças por MarcioGama (86 pontos)  

Considere uma economia com dois períodos e uma matriz de payoffs \(X\) e um vetor de preços dados por :

\(p' = (1,2), X = \left[\begin{array}{cc}
1 & 4 \\
1 & 2 \\
1& 0
\end{array}\right]\)

a) O mercado é completo?
b) O mercado é livre de oportunidades de arbitragem?
c) Um investidor representativo tem uma dotação inicial de uma unidade de cada um dos ativos e uma função utilidade (com nenhum consumo na data 0) dada por \(U(c1,c2,c3) = log(c1) + log(c2) + \gamma log(c3)\). Ache o \(\gamma\) que gera o vetor de preços \(p\).
d) Suponha o mesmo setup de (c) e que exista um terceiro ativo com oferta líquida nula que completa o mercado. Além disso, suponha que \(p\) não é conhecido. Quais os valores de \(p\) para \(\gamma = 2\).
e) O setup encontrado em (d) possui oportunidade de arbitragem?

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1 Resposta

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respondida Nov 9 por MarcioGama (86 pontos)  
editado 5 dias atrás por MarcioGama

a) Como existem 3 estados e apenas 2 ativos o mercado não é completo. \(Rank(X) = 2 \lt 3\).
b) Caso exista oportunidade para arbitragem teríamos \(Xh \ge 0\) e \(p.h \le 0\).
Nesse caso:

\[h_1 + 4h_2 \ge 0 \]\[h_1 + 2h_2 \ge 0\]\[h_1 \ge 0\] e \[h_1 + 2h_2 \le 0\]
Como podemos ver, a segunda equação e a quarta equação só são satisfeitas ao mesmo tempo quando \(h_1 + h_2 = 0\). Logo, o mercado é livre de arbitragem.

c) Queremos resolver o seguinte problema:
\[\max \ U(c1,c2,c3)\]\[s.a: \ w \le p.h ;\]\[ c \le X.h \]

Como a função utilidade é crescente, as restrições são ativas e temos:
\[w = h_1 + 2h_2\]\[c_1 = h_1 + 4h_2\]\[c_2 = h_1 + 2h_2\]\[c3 = h1\]

Desta forma, o problema de otimização fica:
\(\underset{h_1,h_2}{max} \ L = log(h_1 + 4h_2) + log(h_1 + 2h_2) + \gamma log(h1) + \lambda(w - h_1 - 2h_2)\)

As condições de primeiro ordem:

\(\frac{1}{h_1 + 4h_2}\ + \frac{1}{h_1 + 2h_2}\ + \frac{\gamma}{h1}\ - \lambda = 0\)

\(\frac{4}{h_1 + 4h_2}\ + \frac{2}{h_1 + 2h_2}\ - 2\lambda = 0\)

\(w = h_1 + h_2\)

Detalhe: Em uma economia com agente representativo, o preço de equilíbrio é tal que o agente representativo deseja consumir toda a riqueza disponível, que é sua própria dotação. Assim, o problema fica desta forma (\(h_1 = 1, h_2 = 1\)):

\(\frac{1}{5}\ + \frac{1}{3}\ + \gamma - \lambda = 0\)

\(\frac{4}{5}\ + \frac{2}{3}\ - 2\lambda = 0\)

\(w = 3\)

Resolvendo o sistema, chegamos em \(\gamma = \frac{1}{5}\ \).

d)

Um ativo que completa este mercado pode ser:

\(X = \left[\begin{array}{cc}
1 & 4 & 0\\
1 & 2 & 0\\
1& 0 & 1
\end{array}\right]\)

O novo problema é :

\(\underset{h_1,h_2}{max} \ L = log(h_1 + 4h_2) + log(h_1 + 2h_2) + 2 log(h1 + h_3) + \lambda(w - p_1h_1 - p_2h_2 - p_3h_3)\)

As nova CPO:

\(\frac{1}{h_1 + 4h_2}\ + \frac{1}{h_1 + 2h_2}\ + \frac{2}{h1 + h3}\ - p_1\lambda = 0\)

\(\frac{4}{h_1 + 4h_2}\ + \frac{2}{h_1 + 2h_2}\ - p_2\lambda = 0\)

\(\frac{2}{h_1 + h_3}\ - p_3\lambda = 0\)

\(w = p_1h_1 + p_2h_2 + p_3h_3\)

Com \(h_1 = h_2 = 1\) e \( h_3 = 0\), temos:

\(p_1\lambda = \frac{38}{15}\)
\(p_2\lambda = \frac{22}{15}\)
\(p_3\lambda = 2\)

Colocando os preços em função de p1:
\(p_2 = \frac{11}{19}p_1\)
\(p_3 = \frac{15}{18}p_1\)

Assim, o vetor de preços é: \(p' = (p_1,\frac{11}{19}p_1, \frac{15}{19}p_1)\)

e) Como a função de utilidade é estritamente crescente e existe solução para o problema de otimização, o mercado não está sujeito à arbitragem.

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