Primeira vez aqui? Seja bem vindo e cheque o FAQ!
x

Calculando probabilidades neutras ao risco em um mercado com dois estados da natureza iguais

+2 votos
15 visitas
perguntada Nov 12 em Finanças por Pablo Castro (46 pontos)  

Considere um mercado com três ativos e quatro estados. Os preços dos ativos são dados pelo seguinte vetor \(p=(1/3,\ 1/2,\ 2)\) e a matriz de payoffs dada por: \[ {\bf X}= \left[\begin{array}{ccc} 1&0&3\\ 0&1&3\\ 0&2&3\\ 1&0&3 \end{array}\right] \]

a) Qual valor do retorno do ativo livre de risco?

b) Ache todos os preços de estado que são consistentes com \(X\) e \(p\) e diga quais desses preços de estado aparecem oportunidades de arbitragem.

c) O mercado é completo?

d) Quais são as probabilidades neutras ao risco?

e) Um novo ativo com payoff \((1,2,0,1)'\) é introduzido, sem afetar os preços dos ativos já disponíveis no mercado. Considere que esse ativo não cria oportunidade de arbitragem e determine os possíveis valores de preços para este ativo.

Compartilhe

1 Resposta

0 votos
respondida Nov 12 por Pablo Castro (46 pontos)  
editado Nov 13 por Pablo Castro

a) Temos que o retorno do ativo j é \(r_j=\frac{x_j}{p_j}\), então: \[ \overline{r}=\frac{3}{2} \]

b) Observe que os estados da natureza \(s_1\) e \(s_4\) são iguais, os três ativos oferecem o mesmo retorno, logo, podemos eliminar uma das linhas. Considere, então, a matriz: \[ {\bf X^*}= \left[\begin{array}{ccc} 1&0&3\\ 0&1&3\\ 0&2&3 \end{array}\right] \] Para calcular os preços de estado, utilizaremos o resultado \(p'=q'X^*\): \[ \left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{3} & \frac{1}{2} & 2 \end{array} \right] = \left[\begin{array}{ccc} q_1 & q_2 & q_3 \end{array} \right] \left[\begin{array}{ccc} 1&0&3\\ 0&1&3\\ 0&2&3 \end{array}\right] \] De modo que teremos:

\[ \begin{eqnarray} q_1=\frac{1}{3} \tag{1} \\ q_2 + 2q_3 = \frac{1}{2} \tag{2} \\ 3q_1 + 3q_2 + 3q_3 = 2 \tag{3} \end{eqnarray} \] Resolvendo o sistema formado por \((1)\), \((2)\) e \((3)\) chegaremos nos preços de estados que são: \[q_1=\frac{1}{3}\] \[q_2=\frac{1}{6}\] \[q_3=\frac{1}{6}\] De fato, podemos confirmar a parte (a) através de outro resultado apresentando em sala de aula: \[ \overline{r}=\frac{1}{\sum_s q_s}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2} \]

c) Como posto \(\left[X^*\right]=3\), temos que o mercado é completo.

d) Sabemos que as probabilidades neutras ao risco são calculadas por: \[ \pi^*_s = \overline{r}q_s = \frac{q_s}{\sum_s q_s} \] Então:
\[ \pi^*_1 = \frac{3}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \]
\[ \pi^*_2 = \frac{3}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{4} \]
\[ \pi^*_2 = \frac{3}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{4} \] Observe que \(\pi^*_s \in (0,1)\) para todo \(s\) e \( \sum_s \pi^*_s=1 \)

e) Considere a matriz X com a adição de \((1,2,0,1)'\):

\[ {\bf X}= \left[\begin{array}{cccc} 1&0&3&1\\ 0&1&3&2\\ 0&2&3&0\\ 1&0&3&1 \end{array}\right] \] Novamente, os estados da natureza \(s_1\) e \(s_4\) são iguais, logo, iremos eliminar a última linha. Considere, então, a seguinte matriz:

\[ {\bf X^*}= \left[\begin{array}{cccc} 1&0&3&1\\ 0&1&3&2\\ 0&2&3&0 \end{array}\right] \] Temos que os limitantes dos valores de ativos é dado por:

\[ q_u(z) = \max_{q \geq 0} \{ \langle q,z \rangle : p^T=q^TX \} \]
\[ q_l(z) = \min_{q \geq 0} \{ \langle q,z \rangle : p^T=q^TX \} \] E como posto \( \left[X^*\right]=3 \) (mercado completo), \( q_u(z)=q_l(z) \), basta, então, calcularmos \(p'=q'X^*\):

\[ \left[\begin{array}{cccc} \frac{1}{3} & \frac{1}{2} & 2 & p_4 \end{array} \right] = \left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{3} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{array} \right] \left[\begin{array}{cccc} 1&0&3&1\\ 0&1&3&2\\ 0&2&3&0 \end{array}\right] \] Resolvendo, chegaremos em: \[ p_4 = \frac{1}{3} + \frac{2}{6} = \frac{2}{3} \]

...