a) Temos que o retorno do ativo j é \(r_j=\frac{x_j}{p_j}\), então: \[ \overline{r}=\frac{3}{2} \]
b) Observe que os estados da natureza \(s_1\) e \(s_4\) são iguais, os três ativos oferecem o mesmo retorno, logo, podemos eliminar uma das linhas. Considere, então, a matriz: \[
{\bf X^*}= \left[\begin{array}{ccc}
1&0&3\\
0&1&3\\
0&2&3
\end{array}\right] \] Para calcular os preços de estado, utilizaremos o resultado \(p'=q'X^*\): \[ \left[\begin{array}{ccc}
\frac{1}{3} & \frac{1}{2} & 2
\end{array} \right] = \left[\begin{array}{ccc}
q_1 & q_2 & q_3
\end{array} \right] \left[\begin{array}{ccc}
1&0&3\\
0&1&3\\
0&2&3
\end{array}\right] \] De modo que teremos:
\[
\begin{eqnarray}
q_1=\frac{1}{3} \tag{1} \\
q_2 + 2q_3 = \frac{1}{2} \tag{2} \\
3q_1 + 3q_2 + 3q_3 = 2 \tag{3}
\end{eqnarray} \] Resolvendo o sistema formado por \((1)\), \((2)\) e \((3)\) chegaremos nos preços de estados que são: \[q_1=\frac{1}{3}\] \[q_2=\frac{1}{6}\] \[q_3=\frac{1}{6}\] De fato, podemos confirmar a parte (a) através de outro resultado apresentando em sala de aula: \[ \overline{r}=\frac{1}{\sum_s q_s}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2} \]
c) Como posto \(\left[X^*\right]=3\), temos que o mercado é completo.
d) Sabemos que as probabilidades neutras ao risco são calculadas por: \[ \pi^*_s = \overline{r}q_s = \frac{q_s}{\sum_s q_s} \] Então:
\[ \pi^*_1 = \frac{3}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \]
\[ \pi^*_2 = \frac{3}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{4} \]
\[ \pi^*_2 = \frac{3}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{4} \] Observe que \(\pi^*_s \in (0,1)\) para todo \(s\) e \( \sum_s \pi^*_s=1 \)
e) Considere a matriz X com a adição de \((1,2,0,1)'\):
\[ {\bf X}= \left[\begin{array}{cccc}
1&0&3&1\\
0&1&3&2\\
0&2&3&0\\
1&0&3&1
\end{array}\right] \] Novamente, os estados da natureza \(s_1\) e \(s_4\) são iguais, logo, iremos eliminar a última linha. Considere, então, a seguinte matriz:
\[ {\bf X^*}= \left[\begin{array}{cccc}
1&0&3&1\\
0&1&3&2\\
0&2&3&0
\end{array}\right] \] Temos que os limitantes dos valores de ativos é dado por:
\[ q_u(z) = \max_{q \geq 0} \{ \langle q,z \rangle : p^T=q^TX \} \]
\[ q_l(z) = \min_{q \geq 0} \{ \langle q,z \rangle : p^T=q^TX \} \] E como posto \( \left[X^*\right]=3 \) (mercado completo), \( q_u(z)=q_l(z) \), basta, então, calcularmos \(p'=q'X^*\):
\[ \left[\begin{array}{cccc}
\frac{1}{3} & \frac{1}{2} & 2 & p_4
\end{array} \right] = \left[\begin{array}{ccc}
\frac{1}{3} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6}
\end{array} \right] \left[\begin{array}{cccc}
1&0&3&1\\
0&1&3&2\\
0&2&3&0
\end{array}\right] \] Resolvendo, chegaremos em: \[ p_4 = \frac{1}{3} + \frac{2}{6} = \frac{2}{3} \]