Antes de demonstrarmos a Desigualdade de Bessel, precisamos do seguinte resultado:
Afirmação: Seja \(x_1\), \(x_2\), ... , \(x_n \in H\) vetores ortogonais par a par, então:
\[ \left\| \sum_{k=1}^n x_k\right\|^2 = \sum_{k=1}^n \left\|x_k\right\|^2 \]
Demonstração: Considere, sem perca de generalidade, \(x\) e \(y\) quaisquer em \(H\), temos que \( \langle x,y \rangle = \langle y,x \rangle = 0 \) \( \forall \) \( x,y \in H \)
\[
\begin{align*}
\left\|x+y\right\|^2 & = \langle x+y,x+y \rangle \\
& = \langle x,x \rangle + \langle x,y \rangle + \langle y,x \rangle + \langle y,y \rangle \\
& = \langle x,x \rangle + \langle y,y \rangle \\
& = \left\|x\right\|^2 + \left\|y\right\|^2 \tag{Q.E.D.}
\end{align*} \]
Note que se temos \(c_1, c_2, ..., c_n \in \mathbb{R}\), então \( \left\| \sum_{k=1}^n c_k x_k\right\|^2 = \sum_{k=1}^n |c_k|^2\left\|x_k\right\|^2 \).
Desigualdade de Bessel: Considere a Desigualdade de Bessel apresentada no enunciado deste exercício.
Demonstração: Defina \( g=\sum^n_{k=1}\langle w_k,x \rangle w_k \)
\[
\begin{align*}
\left\|g\right\|^2 = \langle g,g \rangle & = \langle \sum^n_{k=1}\langle w_k,x \rangle w_k , \sum^n_{k=1}\langle w_k,x \rangle w_k \rangle \\
& = \sum^n_{k=1} \langle w_k,x \rangle^2 \left\|w_k\right\|^2 \qquad \text{Da afirmação} \\
& = \sum^n_{k=1} \langle w_k,x \rangle^2 \tag{1} \qquad \qquad \text{Pois $\left\|w_k\right\|^2$ =1}
\end{align*} \]
Tome \( x \in H \) arbitrário, temos que:
\[
\begin{align*}
0 \leq \left\|x-g\right\|^2 & = \langle x-g,x-g \rangle \\
& = \langle x,x \rangle - \langle x,g \rangle - \langle g,x \rangle + \langle g,g \rangle \\
& = \left\|x\right\|^2 - 2\langle x,g \rangle + \left\|g\right\|^2 \\
& = \left\|x\right\|^2 -2\langle x,\sum_{k=1}^n \langle w_k,x \rangle w_k \rangle + \left\|g\right\|^2 \\
& = \left\|x\right\|^2 - 2\sum_{k=1}^n \langle w_k,x \rangle^2 + \left\|g\right\|^2 \\
& = \left\|x\right\|^2 - 2\left\|g\right\|^2 + \left\|g\right\|^2 & \text{de (1)} \\
& = \left\|x\right\|^2 - \left\|g\right\|^2
\end{align*} \]
Ou seja, \( \left\|x\right\|^2 \geq \left\|g\right\|^2 \) \[ \left\|x\right\|^2 \geq \sum^n_{k=1} \langle w_k,x \rangle^2 \quad \forall \quad n \in \mathbb{N} \] E tomando \( n \rightarrow \infty \), temos a Desigualdade de Bessel. \( \tag{Q.E.D.} \)