Demonstração da Desigualdade de Bessel

Question

Seja \(W=\{w_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) um sistema ortonormal em um espaço vetorial com produto interno \( H \). Mostre que para cada vetor \(x \in H\) se verifica a Desigualdade de Bessel:
\[ \begin{equation*} \left\|x\right\|^2 \geq \sum^{\infty}_{n=1} \left\|\left\langle x,w_n \right\rangle \right\|^{2} \end{equation*} \]

Answer 1

Antes de demonstrarmos a Desigualdade de Bessel, precisamos do seguinte resultado:

Afirmação: Seja \(x_1\), \(x_2\), ... , \(x_n \in H\) vetores ortogonais par a par, então:

\[ \left\| \sum_{k=1}^n x_k\right\|^2 = \sum_{k=1}^n \left\|x_k\right\|^2 \]

Demonstração: Considere, sem perca de generalidade, \(x\) e \(y\) quaisquer em \(H\), temos que \( \langle x,y \rangle = \langle y,x \rangle = 0 \) \( \forall \) \( x,y \in H \)
\[ \begin{align*} \left\|x+y\right\|^2 & = \langle x+y,x+y \rangle \\ & = \langle x,x \rangle + \langle x,y \rangle + \langle y,x \rangle + \langle y,y \rangle \\ & = \langle x,x \rangle + \langle y,y \rangle \\ & = \left\|x\right\|^2 + \left\|y\right\|^2 \tag{Q.E.D.} \end{align*} \]

Note que se temos \(c_1, c_2, ..., c_n \in \mathbb{R}\), então \( \left\| \sum_{k=1}^n c_k x_k\right\|^2 = \sum_{k=1}^n |c_k|^2\left\|x_k\right\|^2 \).

Desigualdade de Bessel: Considere a Desigualdade de Bessel apresentada no enunciado deste exercício.

Demonstração: Defina \( g=\sum^n_{k=1}\langle w_k,x \rangle w_k \)
\[ \begin{align*} \left\|g\right\|^2 = \langle g,g \rangle & = \langle \sum^n_{k=1}\langle w_k,x \rangle w_k , \sum^n_{k=1}\langle w_k,x \rangle w_k \rangle \\ & = \sum^n_{k=1} \langle w_k,x \rangle^2 \left\|w_k\right\|^2 \qquad \text{Da afirmação} \\ & = \sum^n_{k=1} \langle w_k,x \rangle^2 \tag{1} \qquad \qquad \text{Pois $\left\|w_k\right\|^2$ =1} \end{align*} \]

Tome \( x \in H \) arbitrário, temos que:
\[ \begin{align*} 0 \leq \left\|x-g\right\|^2 & = \langle x-g,x-g \rangle \\ & = \langle x,x \rangle - \langle x,g \rangle - \langle g,x \rangle + \langle g,g \rangle \\ & = \left\|x\right\|^2 - 2\langle x,g \rangle + \left\|g\right\|^2 \\ & = \left\|x\right\|^2 -2\langle x,\sum_{k=1}^n \langle w_k,x \rangle w_k \rangle + \left\|g\right\|^2 \\ & = \left\|x\right\|^2 - 2\sum_{k=1}^n \langle w_k,x \rangle^2 + \left\|g\right\|^2 \\ & = \left\|x\right\|^2 - 2\left\|g\right\|^2 + \left\|g\right\|^2 & \text{de (1)} \\ & = \left\|x\right\|^2 - \left\|g\right\|^2 \end{align*} \]

Ou seja, \( \left\|x\right\|^2 \geq \left\|g\right\|^2 \) \[ \left\|x\right\|^2 \geq \sum^n_{k=1} \langle w_k,x \rangle^2 \quad \forall \quad n \in \mathbb{N} \] E tomando \( n \rightarrow \infty \), temos a Desigualdade de Bessel. \( \tag{Q.E.D.} \)

Comments

Interessante notar a generalidade da Desigualdade de Bessel, apenas requer um conjunto ortonormal de vetores em um espaço de Hilbert, tenha ele dimensão finita ou não, sejam seus elementos funções, escalares ou sequências. O requisito de apenas um sistema ortonormal é realmente mínimo quando nos recordamos que qualquer conjunto linearmente independente de elementos possui um sistema ortonormal associado, pelo processo de ortonormalização de Gram-Schmidt.