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Equilíbrio: Heterogeneidade nas dotações iniciais e nas preferências e o agente representativo

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perguntada Dez 2 em Finanças por Adriana Molinari (1 ponto)  

Considere uma economia com dois possíveis estados no segundo
período. Suponha que o consumo ocorre apenas no segundo período.
Existem dois agentes que possuem funções de utilidade dadas por

\[U^1(c_1^1,c_2^1):0,75log(c_1^1) + 0,25log(c_2^1)\] \[U^2(c_1^2,c_2^2):0,25log(c_1^2) + 0,75log(c_2^2)\]

A dotação inicial do primeiro agente é 1 unidade de um ativo livre que paga 1 unidade em cada um dos estados do segundo período. A dotação inicial do segunda agente é 1 unidade de um ativo arriscado que paga 2 unidades no primeiro estado e 0.5 unidades no segundo estado do segundo período.

a)Determine o equilíbrio.

b) Encontre o agente representativo com função de utilidade esperada
logarítmica cuja demanda pode gerar os preços de equilibrio de (a).

c) Suponha que o payoff do ativo arriscado cresce para 3 no primeiro
estado. Encontre os novos preços usando o agente representativo
determinado em (b).

d) Calcule o novo equilíbrio na economia original com dois agentes. É aquele encontrado em (c)?

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1 Resposta

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respondida Dez 2 por Adriana Molinari (1 ponto)  
editado Dez 2 por Adriana Molinari

a) Em geral, esse tipo de problema de consumo e escolha de carteira pode ser escrito da seguinte maneira, considerando uma função utilidade do tipo \(U(c_s^i)=\sum_{s=1}^{S}\alpha_s^iln(c_s^i)\)
\[\max_{c_0,c_s,h_j}\sum_{s=1}^{S}\alpha_s^iln(c_s^i)\] \[\text{s.a.: }\ c_o=w_0-\sum_{j=1}^{J}p_jh_j \ \ ou \ \ c_0=w_0-p^th\] \[c_s=w_s+\sum_{j=1}^{J}x_{j,s}h_j\ \ ou \ \ c_s = w_s +Xh \]

Sendo que as condições de equilíbrio são dadas por:
\[\begin{equation} \sum_{i=1}^{I}h^i=0;\;\sum_{i=1}^{I}c_0^i\,\leq\,\sum_{i=1}^{I}w_0^i;\;\sum_{i=1}^{i}c_s^i\,\leq\,\sum_{i=1}^{I}w_s^i\end{equation}\]

Em que:

  1. i = 1,...,I denota o número de agentes
  2. j = 1,...,J denota o número de ativos
  3. s = 1,...,S denota os estados da natureza
  4. \(h=[h_1,...,h_J]^T \)é um vetor de ativos Jx1
  5. X é a matriz de payoffs SxJ em todos os estados da natureza. \(X= [x_1,...,x_J]\), em que \(x_j\) é um vetor culuna Sx1 com o payoff do ativo j em todos os S estados da natureza
  6. \(p=[p_1,...,p_J]^T\) é o vetor de preços dos ativos
  7. \(c_0\) é o consumo na data 0
  8. \(c_1= [c_{1,1},...,c_{1,s},...,c_{1,S}]^T\) é um vetor de consumo na data 1 nos S estados da natureza

No problema em questão, a matriz de payoffs é dada por

\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
1 & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}
Note que a matriz X tem posto 2, portanto os mercados são completos e podemos reescrever nosso problema em termos de preços de estado, o que facilita a resolução.
Para reescrevermos o problema em termos de preços de estado, primeiro devemos decompor a riqueza do agente i, \(w^i\)em duas partes, sendo
\[w^i=w_\perp+w_x\]
Onde \(w_\perp\) é um vetor de riqueza exógena e ortogonal à \(w_x\), e \(w_x\) é dado por uma carteira de ativos, \(w_x=\sum_{j=1}^{J}x_{j,s}h_j\).

Ainda, considerando a condição de não arbitragem, temos que o vetor de preços dos ativos pode ser dado por \(p'=q'X\), em que \(q'=(q_1,q_2,...,q_s)\) é o vetor de preços de estado. Note que \(p_j\) pode ser reescrito como \(p_j=\sum_{s=1}^Sq_sx_{j,s}\).

Substituindo \(p_j\) por \(\sum_{s=1}^Sq_sx_{j,s}\) na primeira restrição, \(\sum_{j=1}^{J}x_{j,s}h_j\) por \(w_x\) na segunda restrição, ponderando \(c_0\) e \(w_0\) pelo respectivo preço de estado e rearranjando os termos, temos que as duas restrições orçamentárias podem ser reescritas da seguinte maneira
\[q_0c_0 + \sum_{s=1}^{S}q_sc_s = q_0w_0 + \sum_{s=1}^{S}q_sw_s \]
Agora, podemos reescrever o problema em termos de preços de estado.
\[ \begin{eqnarray*}\max_{c^i}\sum_{s=1}^{S}\alpha_s^iln(c_s^i)\\ \text{s.a.: }\ \sum_{s=1}^{S}q_sc^i_s \leq \sum_{s=1}^{S}q_sw^i_s\\ \text{market clear: } \sum_{i=1}^{i}c_s^i \leq \sum_{i=1}^{I}w_s^i \end{eqnarray*}\]
Note que no problema enunciado anteriormente o agente deveria escolher entre consumo e ativos e agora o agente precisa apenas escolher o consumo, o que facilita bastante a resolução. Ainda, como a função utilidade do nosso problema é estritamente crescente, as restrições são satisfeitas com igualdade, de modo que o lagrangeano do problema fica:
\[ \begin{eqnarray*} \mathscr{L}=\sum_{s=1}^{S}\alpha_s^iln(c_s^i)-\lambda^i(\sum_{s=1}^{S}q_sc^i_s-\sum_{s=1}^{S}q_sw^i_s) \end{eqnarray*}\]
Condição de primeira ordem para qualquer estado da natureza s:
\[\begin{equation} c_s^i: \frac{\alpha_s^i}{\lambda^iq_s} = c_s^i\ \ \ \ (1) \end{equation}\]
Substituindo (1) na restrição e isolando \(\lambda^i\) temos:
\[\begin{equation} \lambda^i=\frac{\sum_{s=1}^{S}\alpha_s^i}{\sum_{s=1}^{S}q_sw^i_s}\ \ \ \ (2) \end{equation}\]
Substituindo (2) em (1):
\[ \begin{equation} c_s^i=\frac{\alpha_s^i\sum_{s=1}^{S}q_sw^i_s}{q_s\sum_{s=1}^{S}\alpha_s^i}\ \ \ \ (3) \end{equation}\]
Substituindo (3) na condição de market clear e somando para todos os agentes temos:
\[ \begin{equation} \sum_{i=1}^{I}c_s^i=\sum_{i=1}^{I}\frac{\alpha_s^i\sum_{s=1}^{S}q_sw^i_s}{q_s\sum_{s=1}^{S}\alpha_s^i}=\sum_{i=1}^{I}w_s^i\ \ \ \ (4) \end{equation}\]
Isolando \(q_s\) em (4), chegamos a uma expressão para o nosso preço de estado, sendo:
\[ \begin{equation} q_s=\frac{1}{\sum_{i=1}^{I}w_s^i}\sum_{i=1}^{I}\frac{\alpha_s^i\sum_{s=1}^{S}q_sw^i_s}{\sum_{s=1}^{S}\alpha_s^i}\ \ \ \ (5) \end{equation}\]
Como no nosso problema temos dois estados da natureza e dois agentes, tomando a razão entre \(q_1\) e \(q_2\) temos:
\[\begin{equation} \frac{q_1}{q_2}=\frac{\sum_{i=1}^{2}w_2^i\sum_{i=1}^{I}\frac{\alpha_1^i}{\sum_{s=1}^{S}\alpha_s^i}\sum_{s=1}^{S}q_sw^i_s}{\sum_{i=1}^{2}w_1^i\sum_{i=1}^{I}\frac{\alpha_2^i}{\sum_{s=1}^{S}\alpha_s^i}\sum_{s=1}^{S}q_sw^i_s} \ \ \ \ (6) \end{equation}\]
Ainda, como \(\sum_{i=1}^{I}\frac{\alpha_1^i}{\sum_{s=1}^{S}\alpha_s^i}=\sum_{i=1}^{I}\frac{\alpha_2^i}{\sum_{s=1}^{S}\alpha_s^i}, \sum_{i=1}^{2}w_2^i=1,5\) e \(\sum_{i=1}^{2}w_1^i=3\) temos \[\frac{q_1}{q_2}=\frac{1,5}{3}=\frac{1}{2}\]
Normalizando \(q_1=1\), temos que \(q_2=2\), sendo que \(p'=q'X\) fica
\[\begin{equation} \begin{pmatrix} p_1 & p_2\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & \frac{1}{2} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3\\ \end{pmatrix}\ \ \ \ (7) \end{equation}\]
Portanto, o vetor de preços de equilíbrio é dado por \(p=\begin{pmatrix}
3 \\
3\\
\end{pmatrix}\), sendo que o consumo ótimo e a carteira ótima dos agentes 1 e 2 são dadas por:
\(c^1=\begin{pmatrix}
2,25 \\
0,375\\
\end{pmatrix}\), \(c^2=\begin{pmatrix}
0,75 \\
1,125\\
\end{pmatrix}\), \(h^1=\begin{pmatrix}
-1,25 \\
1,25\\
\end{pmatrix}\), \(h^2=\begin{pmatrix}
1,25 \\
-1,25\\
\end{pmatrix}\)
Para o vetor de preços e as alocações ótimas de consumo e ativos encontradas, as condições de equilíbrio se verificam.

b) O problema do agente representativo pode ser escrito da seguinte maneira
\[ \begin{eqnarray*}\max_{c} \gamma ln(c_1)+(1-\gamma)ln(c_2)\\ \text{s.a.: }\ \sum_{s=1}^{S}q_sc_s \leq \sum_{s=1}^{S}q_sw_s\\ \text{market clear: } c=w \end{eqnarray*}\]
\[\begin{eqnarray*} \mathscr{L}=\gamma ln(c_1)+(1-\gamma)ln(c_2)-\lambda(\sum_{s=1}^{S}q_sc_s -\sum_{s=1}^{S}q_sw_s) \end{eqnarray*}\]
Condição de primeira ordem para o consumo nos estados da natureza 1 e 2:
\[\begin{equation} c_1: \lambda=\frac{\gamma}{c_1q_1} \ \ \ \ (8) \end{equation}\]
\[\begin{equation} c_2: \lambda=\frac{(1-\gamma)}{c_2q_2} \ \ \ \ (9) \end{equation}\]
Igualando (8) e (9) temos
\[\begin{equation} \frac{q_1}{q_2}=\frac{c_2\gamma}{c_1(1-\gamma)} \ \ \ \ (10) \end{equation}\]
Sabendo que o vetor de riqueza total da economia nos dois estados da natureza é dado por \(w=(3\ \ \ 1,5)^t\) e que a condição de market clear garante que \(c=w\). Ainda, considerando que queremos achar o parâmetro \(\gamma\) que garante que a demanda do agente representativo gerará os preços de equilíbrio achados no item (a). Basta substituir na equação (10) \(c_1\) e \(c_2\) por \(w_1\) e \(w_2\) e os preços de estado pelos preços de estado encontrados no item (a). Logo,
\[\begin{equation} \frac{1}{2}=\frac{1,5\gamma}{3(1-\gamma)}\ \ \ \ (11) \end{equation}\]
Portanto, \(\gamma=\frac{1}{2}\), sendo que para este valor de \(\gamma\) o agente representativo gera os mesmos preços de equilíbrio de (a)

c) Tomando as condições de primeira ordem de (b), o novo vetor de riqueza \(w=(4\ \ \ 1,5)^t\) e \(\gamma=\frac{1}{2}\), temos que \(\frac{q_1}{q_2}=\frac{3}{8}\).
Normalizando \(q_1=1\), temos que \(q_2=\frac{8}{3}\) e \(p'=q'X\) fica
\[ \begin{equation} \begin{pmatrix} p_1 & p_2\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & \frac{8}{3}\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & \frac{1}{2} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{11}{3} & \frac{13}{3}\\ \end{pmatrix} \end{equation}\]
Portanto, o novo vetor de preços é dado por \[p=\begin{pmatrix} \frac{11}{3} \\ \frac{13}{3} \end{pmatrix}\ \ \ \ (12)\]

d) Substituindo em (6) os novos valores para a riqueza, temos que
\[\begin{equation} \frac{q1}{q2}=\frac{3}{8}\ \ \ \ (13) \end{equation}\]
Normalizando \(q_1=1\), temos que \(q_2=\frac{8}{3}\), o que gera o mesmo vetor de preços de (c), \(p=\begin{pmatrix}
\frac{11}{3} \\
\frac{13}{3}\\
\end{pmatrix}\). Portanto, o novo equilíbrio será o mesmo encontrado em (c)

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