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Conjuntos ortonormais e subespaços em espaços de Hilbert

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perguntada Dez 2 em Finanças por Adriana Molinari (1 ponto)  

Seja \(e_n\) um conjunto ortonormal no espaço de Hilbert H.
Mostre que o conjunto de todos os vetores da forma \(x =\sum_nc_ne_n\) é um subespaço de H.

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1 Resposta

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respondida Dez 2 por Adriana Molinari (1 ponto)  

Considerando que o conjunto \(e_n\) é composto por vetores linearmente independentes e sendo x uma combinação linear desses vetores, é direto o fato de que o conjunto de todos os vetores da forma x (X) pertence ao espaço de Hilbert (H).
Agora, para mostrar que o conjunto X é um subespaço vetorial de H, basta mostrar que X também é espaço vetorial.
Se X é espaço vetorial temos que para qualquer par de vetores w e y \(\in\) X e um escalar \(\alpha \in \mathbb{R}\), \(\alpha w + y \in X\).
Tomando \(w=\sum_ic_ie_i\) e \(y=\sum_jc_je_j\) temos que \(\alpha w + y = \sum_i\alpha c_ie_i + \sum_jc_je_j = \alpha\sum_ic_ie_i + \sum_jc_je_j\)
Como \(e_n\) é um conjunto de dimensão finita de vetores ortogonais, \(e_n\) forma uma base para o subespaço vetorial X. Logo, usando o mesmo argumento da primeira parte do exercício, qualquer combinação linear com os vetores do conjunto \(e_n\) também pertencerá à X, de onde concluímos que \(\alpha w + y \in X\). Portanto, X é espaço vetorial e X é subepsaço vetorial de H.

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