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Expressão para o excesso de retorno em um problema de escolha entre consumo e carteira ótimas com função utilidade do tipo CRRA

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perguntada Dez 2 em Finanças por Adriana Molinari (1 ponto)  

Ache uma expressão para o excesso de retorno usando as mesmas variáveis do exercício (2). De fato, você encontrará uma expressão para \(ln(1 + r) − ln(1 + \overline{r})\). Então usando as aproximações \(ln(1 + r) \approx r\) e \(ln(1 + \overline{r}) \approx \overline{r}\), você chegará aos resultados. Calcule agora razão de Sharpe usando as mesmas hipóteses.

Este exercício é parte de uma série de três questões da aula de C-CAPM do curso de finanças da pós graduação em Economia da UNB. Seguem os links para os exercícios \(\href{http://prorum.com/?qa=2993/qual-relacao-entre-overline-seguem-distribuicao-log-normal}{\underline{1}}\) e \(\href{http://prorum.com/?qa=3024/overline-esperanca-variancia-consumo-coeficiente-utilidade}{\underline{2}}\).

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1 Resposta

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respondida Dez 2 por Adriana Molinari (1 ponto)  
editado Dez 2 por Adriana Molinari

Para chegarmos a uma expressão para o excesso de retorno vamos partir da condição de primeira ordem do problema de escolha entre consumo e carteira ótimos sendo:
\[\begin{equation} p_j v^\prime(c_0)=E[\gamma v^\prime(c_1)x_j] \ \ \ \ (1) \end{equation}\]
Dividino a equeação (1) por \(p_j\) temos a C.P.O em termos de retorno.
\[\begin{equation} v^\prime(c_0)=E[\gamma v^\prime(c_1)r_j]\ \ \ \ (2) \end{equation}\]
E dividino a equação (2) por \(v^\prime(c_0)\) temos que
\[\begin{equation} 1=E[Mr_j]\ \ \ \ (3) \end{equation}\]
Considerando a função utilidade do nosso problema, \(v(x) = \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha}\) chegamos a seguinte expressão para o fator de desconto estocástico M
\[\begin{equation} M =\gamma \frac{v^\prime(c_1)}{v^\prime(c_0)} = \gamma(\frac{c_0}{c_1})^{-\alpha}\ \ \ \ (4) \end{equation}\]
Sabendo que a \(COV(XY) = E[XY]-E[X]E[Y]\) podemos reescrever \(E[Mr_j]\):
\[\begin{equation} E[Mr_j]=COV(M,r_j)+E[M]E[r_j]\ \ \ \ (5) \end{equation}\]
Portanto, substituindo (5) em (3) e isolando \(E[r_j]\) chegamos a uma expressão para o retorno esperado do ativo \(r_j\)
\[\begin{equation} E[r_j] = \frac{1-COV(M,r_j)}{E[M]}\ \ \ \ (6) \end{equation}\]
Se \(r_j = \overline{r}\) temos que \(COV(M,\overline{r})=0\) e, portanto,
\[\begin{equation} \overline{r}=\frac{1}{E[M]}\ \ \ \ (7) \end{equation}\]
Ainda, o excesso de retorno \(ln(E[r_j]+1)-ln(\overline{r}+1)\) fica
\[\begin{equation} ln\left(\frac{1-COV(M,r_j)}{E[M]}+1\right)-ln\left(\frac{1}{E[M]}+1\right)\ \ \ \ (8) \end{equation}\]
Assumindo que \(ln(E[r_j+1])\approx E[r_j]\) e \(ln(\overline{r}+1)\approx \overline{r}\) temos que o excesso de retorno é dado por:
\[\begin{equation} \frac{1-COV(M,r_j)}{E[M]}-\frac{1}{E[M]} = -\frac{COV(M,r_j)}{E[M]}\ \ \ \ (9) \end{equation}\]
Ainda, de (7) concluimos que \(E[M]=\frac{1}{\overline{r}}\), portanto reescrevendo (9)
\[\begin{equation} r_j-\overline{r}=-\overline{r}COV(M,r_j) \ \ \ \ (10) \end{equation}\]
Como \(E[M]=E\left[\gamma \left(\frac{c_0}{c_1}\right)^{-\alpha}\right]\),temos que \(\overline{r}=\frac{1}{E\left[\gamma \left(\frac{c_0}{c_1}\right)^{-\alpha}\right]}\) e o excesso de retorno (10) fica:
\[\begin{equation} r_j-\overline{r}=- \frac{\sigma_{M,r_j}}{E\left[\gamma \left(\frac{c_0}{c_1}\right)^{-\alpha}\right]}\ \ \ \ (11) \end{equation}\]
Em que \(\sigma_{M,r_j}\) é a covariância entre \(M\) e \(r_j\)

A razão de Sharpe é a razão entre o excesso de retorno e o desvio padrão do ativo arriscado e dá uma medida para os investidores do excesso de retorno e o risco associado ao ativo em questão, sendo \[\frac{E[r_j]-\overline{r}}{\sigma_{r_j}}\]
Onde \(\sigma_{r_j}\) é o desvio padrão do ativo j.
Reescrevendo a \(COV(M,r_j)\) temos:
\[COV(M,r_j)= \sigma_{M,r_j}\frac{\sigma_{r_j}\sigma_M}{\sigma_{r_j}\sigma_M}=\rho_{M,r_J}\sigma_M\sigma_{r_j}\ \ \ \ (12)\]
Onde \(\rho_{M,r_j}\) é a correlação entre \(M\) e \(r_j\) e \(\sigma_m\) é o desvio padrão de M.
Isolando o desvio padrão de \(r_j\) na equação 12 temos
\[\begin{equation} \sigma_{r_j}=\frac{\sigma_{M,r_J}}{\rho_{M,r_j}\sigma_m} \ \ \ \ (13) \end{equation}\]
Escrevendo a razão de Sharpe em termos do nosso problema temos:
\[\begin{equation} \frac{E[r_j]-\overline{r}}{\sigma_{r_j}} = \frac{- \frac{\sigma_{M,r_j}}{E\left[\gamma \left(\frac{c_0}{c_1}\right)^{-\alpha}\right]}}{\frac{\sigma_{M,r_J}}{\rho_{M,r_j}\sigma_m}}=-\frac{\rho_{M,r_j}\sigma_m}{E\left[\gamma \left(\frac{c_0}{c_1}\right)^{-\alpha}\right]} \end{equation}\]

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