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Desigualdade triangular para norma: demonstração

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perguntada Dez 11, 2018 em Matemática por Renata Carneiro (1 ponto)  

Mostre que:

a) \( \Vert x + y \Vert = \Vert x \Vert + \Vert y \Vert \) se e somente se \( ax = by\).

b) \( ||x-y|| + ||y-z|| = ||x-z|| \) se e somente se \( y = \alpha x + (1 - \alpha)z \), \( \alpha \in [0; 1] \)

c) \( ||x-y|| = ||x|| + ||y|| \) se e somente se \( ax=by \)

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1 Resposta

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respondida Dez 11, 2018 por Renata Carneiro (1 ponto)  
editado Dez 11, 2018 por Renata Carneiro

a)

\( (\Rightarrow) \)Se \( \Vert x + y \Vert = \Vert x \Vert + \Vert y \Vert \), então \(ax = by\).

Sabemos que, pela desigualdade triangular:

\( \Vert x + y \vert \leq \Vert x \Vert + \Vert y \Vert \)

Elevando os dois lados ao quadrado, temos:

\( \Vert {x+y} \Vert^2 \leq \Vert x \Vert^2 + 2\Vert x \Vert \Vert y \Vert + \Vert y \Vert^2 \)

\( \langle {x+y},{x+y} \rangle \leq \langle x,x \rangle + 2\sqrt[2]{\langle x,x \rangle \langle y,y \rangle)} + \langle y,y \rangle \)

\( \langle x , x \rangle +2\langle{x,y}\rangle + \langle{y,y}\rangle \leq \langle x,x \rangle + 2\sqrt[2]{\langle x,x \rangle \langle y,y \rangle)} + \langle y,y \rangle \)

\( \langle{x,y}\rangle \leq \sqrt[2]{\langle x,x \rangle \langle y,y \rangle)} \)

Para ser satisfeita na igualdade precisamos ter:

\( \langle{x,y}\rangle = \sqrt[2]{\langle x,x \rangle \langle y,y \rangle)} \)

O que, pela desigualdade de Cauchy-Schwartz, só ocorre se \( x = \alpha y \).

Logo,

\( \Vert x + y \Vert = \Vert x \Vert + \Vert y \Vert \) se \( ax = by \).

\( (\Leftarrow) \) Se \( ax = by \), então \( \Vert x + y \Vert = \Vert x \Vert + \Vert y \Vert \)

Substituindo \( x = \frac{b}{a} y \) em \( ||x+y|| \), temos:

\( ||\frac{b}{a} y + y|| = ||(1 + \frac{b}{a}) y|| = |1 + \frac{b}{a}|||y|| = |\frac{a+b}{a}|||y|| \)

Agora, substituindo \( x = \frac{b}{a} y \) em \( ||x|| + ||y|| \), temos

\( ||\frac{b}{a} y|| + ||y|| = |\frac{b}{a}|||y|| + ||y|| = (|\frac{b}{a}| + |1|)||y|| = (\frac{|a|+|b|}{|a|})||y|| \)

Logo, se \( ax=by \) , então \( ||x+y|| = ||x||+||y|| \)

b)

\( (\Rightarrow) \) Se \( ||x-y|| + ||y-z|| = ||x-z|| \), então \( y = \alpha x + (1 - \alpha)z \), \( \alpha \in [0; 1] \)

\( ||x-z|| = ||x-y+y-z|| = ||(x-y) + (y-z)|| \)

Usando o item a:

\( ||(x-y) + (y-z)|| = ||x-y|| + ||y-z|| \) se e somente se \( a(x-y)=b(y-z) \)

Portanto, \( ax - ay = by - bz \)

\( by + ay = ax + bz \)
\( (b+a)y = ax + bz \)
\( y = \frac{a}{b+a} x + \frac{b}{b+a} z \)

Como \( \frac{a}{b+a} + \frac{b}{b+a}= 1 \) e tomando \(\alpha = \frac{a}{b+a} \), temos: \( y = \alpha x + (1 - \alpha) z \)

\( (\Leftarrow) \) Se \( y = \alpha x + (1 - \alpha)z \), \( \alpha \in [0; 1] \), então \( ||x-y|| + ||y-z|| = ||x-z|| \)

Substitindo y em \( ||x-y|| + ||y-z|| \), temos:

\[ \begin{align*} ||x - \alpha x - (1-\alpha)z|| + ||\alpha x + (1-\alpha)z - z|| \\ = ||(1-\alpha)x-(1-\alpha)z|| + ||\alpha x + z - \alpha z - z|| \\ =|1-\alpha|||x-z|| + |\alpha|||x-z|| \\ =(||x-z||)(1-\alpha + \alpha) \\ =||x-z|| \end{align*} \]

c)

\( (\Rightarrow) \) Se \( ||x-y|| = ||x|| + ||y|| \) então \( ax=by \)

Pela desigualdade triangular, temos:

\( \Vert x - y \vert \geq \Vert x \Vert - \Vert y \Vert \)

Elevando os dois lados ao quadrado, temos:

\( \Vert {x-y} \Vert^2 \geq \Vert x \Vert^2 - 2\Vert x \Vert \Vert y \Vert + \Vert y \Vert^2 \)

\( \langle {x-y},{x-y} \rangle \geq \langle x,x \rangle - 2\sqrt[2]{\langle x,x \rangle \langle y,y \rangle)} + \langle y,y \rangle \)

\( \langle x , x \rangle -2\langle{x,y}\rangle + \langle{y,y}\rangle \geq \langle x,x \rangle - 2\sqrt[2]{\langle x,x \rangle \langle y,y \rangle)} + \langle y,y \rangle \)

\( \langle{x,y}\rangle \geq \sqrt[2]{\langle x,x \rangle \langle y,y \rangle)} \)

Para que \( ||x-y|| = ||x|| - ||y|| \), precisamos ter:

\( \langle{x,y}\rangle = \sqrt[2]{\langle x,x \rangle \langle y,y \rangle)} \)

Logo, pela desigualdade de Cauchy-Schwartz, isso é atendido se \( x = \alpha y \).

Então, se \( ||x-y|| = ||x|| - ||y|| \), temos que \( ax = by \).

\( (\Leftarrow) \) Se \( ax = by \), então \( \Vert x - y \Vert = \Vert x \Vert - \Vert y \Vert \)

Substitindo \( x = \frac{b}{a} y \) em \( ||x+y|| \), temos:

\( ||\frac{b}{a} y - y|| = ||(\frac{b}{a} - 1) y|| = |\frac{b}{a} - 1|||y|| = |\frac{b-a}{a}|||y|| \)

Agora, substituindo \( x = \frac{b}{a} y $ em $||x|| - ||y|| \), temos

\( ||\frac{b}{a} y|| - ||y|| = |\frac{b}{a}|||y|| - ||y|| = (|\frac{b}{a}| - |1|)||y|| = (\frac{|a|-|b|}{|a|})||y|| \)

Logo, se \( ax=by \), então \( ||x-y|| = ||x||-||y|| \)

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