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Sejam U e W subespa¸cos de R4 de dimens˜ao 2 e 3 respectivamente. Mostre que a dimensão de U ∩W e pelo menos 1. O que ocorre se a dimensão de U ∩W for 2? Pode ser 3?

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perguntada Dez 12, 2018 em Matemática por eduarda (1 ponto)  
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1 Resposta

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respondida Jan 27 por Stuart Mill (834 pontos)  

U é um subespaço do R4 de dimensão 2. Isto significa que todo o subespaço pode ser gerado por combinações lineares a partir da base, que contém 2 vetores (evidentemende, são linearmente independentes por definição). Por simplificação, podem ser 2 vetores na base canônica. Quatro possibilidades existem: (1,0,0,0) ; (0,1,0,0) ; (0,0,1,0) ; (0,0,0,1). Para formar U, são necessários 2 desses vetores.

W é um subespaço de dimensão 3, e isso significa que para formar W são necessários pelo menos três vetores canônicos do R4.

Agora a pergunta sobre a interseção dos 2 conjuntos. Ora, como ambos são subespaços do R4, com 4 bases canônicas, pelo menos uma base deve ser compartilhada por ambos (para ser mais preciso, uma base deve ser linearmente dependente da outra).

Se a dimensão da interseção for 2, isto significa que todo o subespaço U pode ser gerado por W. Ou seja, W tem as mesmas 2 bases de U (pensando apenas nas bases canônicas, para simplificação) mais uma diferente.

Ela não pode ser 3, uma vez que a dimensão de U é 2. Reformulando a pergunta: o subespaço que pode ser gerado tanto por U quanto por W pode ter 3 dimensões? É evidente que não, pois U só tem 2 dimensões.

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