Sejam três vetores de preços (de produto, não de insumos) \(p_1\) , \(p_2\) e \(p_3 = tp_1 + (1-t)p_2 \), \(t \in [0,1] \). Sejam \(y_i, i=1,2,3 \) , as produções ótimas associadas a cada preço, e seja \(\pi\) a função de lucro ótimo. Segue que:
\( \pi(p_3) = p_3 y_3 = [tp_1 + (1-t)p_2]y_3 \) [1]
Por definição:
- \(p_1 y_3 \leq p_1 y_1 = \pi(p_1) \implies tp_1 y_3 \leq tp_1 y_1\)
- \(p_2 y_3 \leq p_2 y_2 = \pi(p_2) \implies (1-t)p_2 y_3 \leq (1-t)p_2 y_2\)
Portanto, aplicando as duas relações a [1]:
\( [tp_1 + (1-t)p_2]y_3 = tp_1 y_3 + (1-t)p_2 y_3 \leq tp_1 y_1 + (1-t)p_2 y_2 \implies\)
\(\pi( tp_1 + (1-t)p_2) \leq t\pi(p_1) + (1-t)\pi(p_2)\),
que é a definição de convexidade.