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Por que a função de lucro da firma é convexa nos preços dos produtos?

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perguntada Fev 1 em Economia por Stuart Mill (834 pontos)  
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1 Resposta

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respondida Fev 1 por Stuart Mill (834 pontos)  

Sejam três vetores de preços (de produto, não de insumos) \(p_1\) , \(p_2\) e \(p_3 = tp_1 + (1-t)p_2 \), \(t \in [0,1] \). Sejam \(y_i, i=1,2,3 \) , as produções ótimas associadas a cada preço, e seja \(\pi\) a função de lucro ótimo. Segue que:

\( \pi(p_3) = p_3 y_3 = [tp_1 + (1-t)p_2]y_3 \) [1]

Por definição:

  1. \(p_1 y_3 \leq p_1 y_1 = \pi(p_1) \implies tp_1 y_3 \leq tp_1 y_1\)
  2. \(p_2 y_3 \leq p_2 y_2 = \pi(p_2) \implies (1-t)p_2 y_3 \leq (1-t)p_2 y_2\)

Portanto, aplicando as duas relações a [1]:

\( [tp_1 + (1-t)p_2]y_3 = tp_1 y_3 + (1-t)p_2 y_3 \leq tp_1 y_1 + (1-t)p_2 y_2 \implies\)
\(\pi( tp_1 + (1-t)p_2) \leq t\pi(p_1) + (1-t)\pi(p_2)\),

que é a definição de convexidade.

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