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Existe alguma matriz inversível A tal que A² = 0 (matriz nula)? Justifique.

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perguntada Fev 27 em Matemática por Valério Londe (31 pontos)  
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1 Resposta

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respondida Fev 27 por Valério Londe (31 pontos)  
selecionada Fev 27 por danielcajueiro
 
Melhor resposta

Se uma matriz A é inversível, então a matriz A tem inversa e é não singular com determinante diferente de 0. Vamos chamar a inversa da matriz A de B

Logo podemos fazer:

A.B = B.A = I, pois A possui uma inversa à esquerda e à direita de A.

AB = I

Multipliquemos à esquerda por A:

A²B = AI, então A²B= A, por definição.

Porém, A² = 0

então:

0B = A

A = 0,

Mas a matriz nula não é inversível, o que é uma contradição. Logo não há tal matriz A.

comentou Set 4 por Nadla (1 ponto)  
editado Set 9 por Nadla
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comentou Set 4 por Vinícius Nery (1 ponto)  
Acho que o problema de fazer desse seu jeito é que não existe uma definição pra divisão de matrizes, uma vez que a operação "semelhante" à divisão seria multiplicar os dois lados pela inversa.

Fazendo assim, I/A=A^-1 não é uma equação válida quando se trata de matrizes.

Pensei em fazer pela propriedade de determinantes (toda matriz inversível tem determinante diferente de 0); como a matriz é nula, seu determinante é necessariamente 0 e, portanto, não pode ser inversível.
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