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Como descrever o núcleo dessa economia de trocas?

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perguntada Abr 16 em Economia por Stuart Mill (1,084 pontos)  
  • \( u_a (x_a , y_a) = (x_a y_a )^\frac{1}{2}\) , \( u_b (x_b , y_b) = (x_b y_b ) \)
  • \(e_a = (6,4) \) e \(e_b = (4,6) \)
    Descreva as alocações do núcleo desta economia.
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1 Resposta

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respondida Abr 17 por Stuart Mill (1,084 pontos)  
editado Abr 17 por Stuart Mill

Nesse caso:

  • O conjunto de alocações factíveis são aquelas que exaurem as dotações iniciais.
  • A curva de contrato é um subconjunto Pareto-Eficiente das alocações factíveis. Para utilidades bem comportadas, serão pontos de tangência entre as taxas marginais de substituição.
  • O núcleo é o subconjunto da curva de contrato em que as alocações são não bloqueáveis. No caso de 2 consumidores, existem duas possibilidades para coalizões. Uma coalizão de 1 indivíduo implica que não há trocas (porque a alocação deva exaurir a dotação individual). Uma coalizão de dois indivíduos bloqueia uma alocaçao x se existir alguma alocação y que seja uma melhoria de Pareto em relação a x (nenhum indivíduo fica pior e pelo menos um fica melhor). Quaisquer alocações factíveis fora da curva de contrato serão bloqueadas pelos dois consumidores, usando uma alocação na curva de contrato. No entanto, também existem alocações na curva de contrato que podem ser bloqueadas. Em especial, qualquer alocação que seja pior que a dotação inicial de um indivíduo pode ser bloqueada pela coalização formada por esse indivíduo sozinho.
  • Portanto, nesse caso, o núcleo será o subconjunto de cestas factíveis que são Pareto-eficientes e (geralmente) são melhorias de Pareto em relação às dotações iniciais (no caso de uma dotação inicial na curva de contrato, o núcleo é composto por um ponto, a dotação, que obviamente não é uma melhoria de Pareto fraca em relação a ela mesma, pois nenhum indivíduo prefere estritamente ela a ela mesma).

Vamos usar essas três condições para resolver o problema. Igualando as TMS, obtemos: \( TMS(x,y)_a = TMS(x,y)_b \implies \frac{y_a}{x_a} = \frac{y_b}{x_b} \).

Usando a condição de que a alocação deve ser factível, a partir da última equação, temos: \( \frac{y_a}{x_a} = \frac{y_b}{x_b} = \frac{10 - y_a}{10 - x_a} \implies 10y_a - x_a y_a = 10x_a - y_a x_a \implies y_a = x_a \).
A última equação define uma curva saindo da origem de A na Caixa de Edgeworth. Como a caixa é quadrada, essa curva de inclinação 1 na verdade liga a origem de A à origem de B.

Agora, o núcleo deve ser o conjunto \(N = \{ (x_a , y_a , x_b , y _ b ) = (x,x,10-x,10-x) \in \mathbb{R}_+^4 : \)
\((x,x) \succeq_a e_a\) e \((10-x, 10-x) \succeq_b e_b \} \).

Jogando essa condição no problema, temos que: \(u_a (x,x) \geq u_a(e_a) \implies (x_a x_a )^{0,5} \geq 24^{0,5} \implies \)
\( x_a \geq \sqrt{24} \approx 4,9 \).

Da mesma forma para b, temos: \(u_b (10-x, 10-x) \geq u_b (e_b) \implies (10-x)^2 \geq 24 \implies (10-x) \)
\( \geq \sqrt{24} \implies x \leq 10 - \sqrt{24} \approx 5,1\).

Logo, \(N = \{ (x,x,10-x,10-x) \in \mathbb{R}_+^4 : x \in [\sqrt{24} , 10 - \sqrt{24}] \} \)

comentou Abr 17 por Stuart Mill (1,084 pontos)  
É bom notar também que as duas utilidades representam preferências idênticas. Isso porque podemos chegar na utilidade de B elevando ao quadrado a utilidade de A (uma transformação monotônica crescente, que preserva a representação de preferências).
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