Problema sobre autovalores e autovetores

Question

Suponha que a matriz \(A\) definida abaixo possua autovalor igual a 3:

\(A=\left[\begin{array}{cc}
a & -1 \\
1 & 4\\
\end{array}\right]\).

a) Encontre o valor de \(a\).

b) A matriz possui outros autovalores além de 3?

c) Calcule os autovetores associados a \(A\).

Answer 1

a)

Note que

\(\left|\begin{array}{cc}
a-\lambda & -1 \\
1 & 4-\lambda\\
\end{array}\right|=0\) para que \(\lambda\) seja autovalor. Supondo que o autovalor é igual a 3, temos que \(a=2\).

b) Agora fazendo \(\left|\begin{array}{cc}
2-\lambda & -1 \\
1 & 4-\lambda\\
\end{array}\right|=0\), chegamos a \(\lambda^2-6\lambda+9=0\) cuja a única solução é igual a 3.

c) Para encontrar os autovetores, faça

\(\left[\begin{array}{cc}
2-\lambda & -1 \\
1 & 4-\lambda\\
\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}
u \\
v\\
\end{array}\right]=0\).

Substituindo o valor de \(\lambda\) e resolvendo o sistema linear, encontramos \(\left[\begin{array}{c}
u \\
v\\
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
1 \\
-1\\
\end{array}\right]\)