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Pergunta sobre subespaço de polinômios

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perguntada Mai 18 em Matemática por danielcajueiro (5,661 pontos)  

Seja \(\mathcal{P}_4\) o espaço vetorial de todos os polinômios de grau igual ou menor que 4.
Seja \(W\) o subespaço vetorial de \(\mathcal{P}_4\) que satisfaz

\[W=\{p(x)\in \mathcal{P}_4\;|\; p(1)+p(-1)=0 \text{ e } p(2)+p(-2)=0\}\]

a) Ache uma base para o subespaço \(W\).

b) Determine a dimensão de \(W\)

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1 Resposta

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respondida Mai 18 por danielcajueiro (5,661 pontos)  

Um elemento típico de \(\mathcal{P}_4\) é

\(p(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx + e\)

Note que

\(p(1)+p(-1)=2a+2c+2e=0\)

\(p(2)+p(-2)=32a+8c+2e=0\)

As equações definem um sistema linear homogêneo cuja solução é

\([1/4 e,b,-5/4 e, d,e ].\)

Ou seja, um elemento típico desse subespaço é \(p(x)=1/4 e x^4+bx^3-5/4 e x^2+dx + e\) ou seja \(p(x)=(1/4 x^4- 5/4 x^2 +1) e + bx^3+dx\). Logo, uma base para esse subespaço é
\(\{1/4 x^4- 5/4 x^2 +1, x^3, x\}\), que possui dimensão 3.

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