O que é um espaço de Hilbert?

Question

Vamos fazer uma coleção de exemplos?

Answer 1

BACHMAN & NARICI [Functional analysis, p. 143] dão um belo exemplo de um espaço euclidiano (isto é, dotado de produto interno) que não é espaço de Hilbert.

Seja E o espaço das funções contínuas no intervalo \(J = [-1, 1]\). Definimos em \(E\) um produto interno pela condição \(f\cdot g = \int_{-1}^{ 1} f(t)g(t)dt \).

Verifica-se facilmente que \(f\cdot g\) satisfaz aos axiomas que caracterizam os produtos internos.

Como exemplo de uma sequência que atende à condição de Cauchy e que não converge (a uma função contínua definida no intervalo J), os autores citados propõem a sequência \( (f_n) \) definida por

\[ f_n (x) = 0, \text{ se } -1 \leq x \leq 0\]

\[f_n (x) = nx, \text{ se } 0 \leq x \leq 1/n\]

\[f_n (x) = 1, \text{ se } 1/n \leq x \leq 1. \]

Os gráficos dos termos dessa sequência sugere que o limite (se existir) não é função contínua.

Seja \(L\) a função definida em \(J\) pelas condições:

\[ L(x) = 0, \text{ se } x \leq 0\]
\[L(x) = 1, \text{ se } 0 \leq x. \]

Não é difícil verificar que, quando \(n \rightarrow \infty, |L - f_n| \rightarrow 0\).

Essa condição a convergência da sequência citada à função \( L\).
Como todo espaço normado é métrico, vigora o axioma de Hausdorff e, conseguentemente, as sequência convergentes admitem um único limite.

Como \(L\) não é função contínua, a sequência citada não converge em \(E\).

Tampouco é difícil mostrar que \(L\) atende à condição de Cauchy.

Conclusão: A sequência de funções satisfaz à condição de Cauchy mas não converge a uma função do espaço E.

Comments

Caro Marcelo_Papini, você está dando um exemplo interessante para mostrar a necessidade da característica de completude do espaço. Correto?

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Na verdade, pretendi acentuar a distinção entre um espaço vetorial (no caso, o espaço das funções contínuas no intervalo J) e as distintas métricas que lhe podem ser impostas. No exemplo dado, foi definido um produto interno no espaço vetorial. Tal produto institui uma norma e, consequentemente, uma métrica no citado espaço vetorial. A existência de uma sequência de Cauchy que não converge (no espaço vertente), mostra que tal espaço euclidiano não é um espaço de Hilbert.
Por outro lado, podemos introduzir uma norma (que não é associada a produtos internos), consoante a definição: |f | = max {|f(x)|: x percorre J}. Depois de mostrarmos que essa função é efetivamente uma norma, demonstramos que todas as sequências de Cauchy são convergentes e que, portanto, esse espaço normado é um espaço de Banach.

Answer 2

Um espaço de Hilbert é um espaço vetorial completo dotado de produto interno.

O termo "completo" implica que toda a sequencia de Cauchy (com elementos apenas do espaço vetorial) converge para um elemento do espaço vetorial.

Uma norma nesse espaço vetorial é induzida diretamente pelo produto interno: \(||x||=\sqrt{x\cdot x}\).

O exemplo mais simples e intuitivo de um espaço de Hilbert é o \(\Re^n\), onde a norma de um elemento \(x\in\Re^n\) é dada por \(||x||=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}}\) . A completude desse espaço é herdada diretamente da completude dos número reais.