BACHMAN & NARICI [Functional analysis, p. 143] dão um belo exemplo de um espaço euclidiano (isto é, dotado de produto interno) que não é espaço de Hilbert.
Seja E o espaço das funções contínuas no intervalo \(J = [-1, 1]\). Definimos em \(E\) um produto interno pela condição \(f\cdot g = \int_{-1}^{ 1} f(t)g(t)dt \).
Verifica-se facilmente que \(f\cdot g\) satisfaz aos axiomas que caracterizam os produtos internos.
Como exemplo de uma sequência que atende à condição de Cauchy e que não converge (a uma função contínua definida no intervalo J), os autores citados propõem a sequência \( (f_n) \) definida por
\[ f_n (x) = 0, \text{ se } -1 \leq x \leq 0\]
\[f_n (x) = nx, \text{ se } 0 \leq x \leq 1/n\]
\[f_n (x) = 1, \text{ se } 1/n \leq x \leq 1. \]
Os gráficos dos termos dessa sequência sugere que o limite (se existir) não é função contínua.
Seja \(L\) a função definida em \(J\) pelas condições:
\[ L(x) = 0, \text{ se } x \leq 0\]
\[L(x) = 1, \text{ se } 0 \leq x. \]
Não é difícil verificar que, quando \(n \rightarrow \infty, |L - f_n| \rightarrow 0\).
Essa condição a convergência da sequência citada à função \( L\).
Como todo espaço normado é métrico, vigora o axioma de Hausdorff e, conseguentemente, as sequência convergentes admitem um único limite.
Como \(L\) não é função contínua, a sequência citada não converge em \(E\).
Tampouco é difícil mostrar que \(L\) atende à condição de Cauchy.
Conclusão: A sequência de funções satisfaz à condição de Cauchy mas não converge a uma função do espaço E.