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Ache todos os pontos críticos de \(f(x,y)=x + \log(1+y)\) sujeito a \(16x +y =495\). Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange e teste se o ponto positivo é máximo ou mínimo utilizando o Hessiano orlado.

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perguntada Jul 21 em Matemática por danielcajueiro (5,806 pontos)  
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respondida Jul 21 por danielcajueiro (5,806 pontos)  

Vamos seguir o procedimento considerado aqui.

1) Monte o lagrangeano:

\[L(\lambda,x,y)=x+ log(1+y) -\lambda (16x+y-495)\]

2) Derive em relação a todas as variáveis e iguale a zero:

\[\frac{\partial L}{\partial x}=1-16\lambda=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial y}=\frac{1}{1+y}-\lambda=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial \lambda}=-(16x+y-495)=0\]

3) Resolva o sistema de equações do ítem anterior para encontrar os pontos críticos.

Das equações acima, é óbvio que \((\lambda, x, y)=(1/16,30,15)\).

4) Use o hessiano orlado para testar se os pontos críticos do ítem anterior são pontos de máximo ou mínimo.

\[H_o=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -16 & -1\\ -16 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & -1/(1+y)^2\end{array} \right]\]

6) Checar se os pontos são máximos ou mínimos

Como \((n-m)=1\), estamos interessados apenas no determinante de \(H_o\):

\[|H_o|=\frac{256}{1+y^2}\gt 0\]

Logo, temos um ponto de máximo.

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