Vamos seguir o procedimento considerado aqui.
1) Monte o lagrangeano:
\[L(\lambda,x,y)=x+ log(1+y) -\lambda (16x+y-495)\]
2) Derive em relação a todas as variáveis e iguale a zero:
\[\frac{\partial L}{\partial x}=1-16\lambda=0\]
\[\frac{\partial L}{\partial y}=\frac{1}{1+y}-\lambda=0\]
\[\frac{\partial L}{\partial \lambda}=-(16x+y-495)=0\]
3) Resolva o sistema de equações do ítem anterior para encontrar os pontos críticos.
Das equações acima, é óbvio que \((\lambda, x, y)=(1/16,30,15)\).
4) Use o hessiano orlado para testar se os pontos críticos do ítem anterior são pontos de máximo ou mínimo.
\[H_o=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -16 & -1\\ -16 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & -1/(1+y)^2\end{array} \right]\]
6) Checar se os pontos são máximos ou mínimos
Como \((n-m)=1\), estamos interessados apenas no determinante de \(H_o\):
\[|H_o|=\frac{256}{1+y^2}\gt 0\]
Logo, temos um ponto de máximo.