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Considere os pares de payoffs e preços.

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perguntada Set 7 em Economia por Luiz Filippe (1 ponto)  

Mercado 1)

p = (1,1,0), \[X=\left[\begin{array}{cc} 1.2 & 1 & 0.8 \\ 0.9 & 1.2 & 1.3\\ 0.8 & 1.3 & 1.1\\ \end{array}\right]\]

Mercado 2)

p = (3,3), \[X=\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1\\ \end{array}\right]\]

a) Quais pares são livres de arbitragem?

b) Verifique se o mercado é completo. Em caso negativo, encontre
um ativo que não pode ser replicado nesse mercado.

c) Verifique a existência e a unicidade de preços de estados.

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1 Resposta

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respondida Set 8 por Luiz Filippe (1 ponto)  
editado 5 dias atrás por Luiz Filippe

LETRA A)

Para o mercado 1

Dada a matriz de payoffs

\[X=\left[\begin{array}{cc} 1,2 & 1 & 0,8\\ 0,9 & 1,2 & 1,3 \\ 0,8 & 1,3 & 1,1 \end{array}\right]\]

e a carteira

\[h=\left[\begin{array}{cc} h_1 \\ h_2 \\ h_3 \end{array}\right]\]

Façamos

\[Xh=\left[\begin{array}{cc} e_1 \\ e_2 \\ e_3 \end{array}\right]\]

Para calcular o valor de h tal que retorne como payoffs os estados da natureza, podemos usar a regra de Cramer:

LETRA B

O mercado não é completo.

Para o mercado ser completo, rank(X) = S. No caso do mercado 2, temos 2 ativos e 3 estados da natureza. O posto da matriz é 2. Logo, o mercado é incompleto.

O ativo [0 0 3], por exemplo, não pode ser replicado no mercado. Como não há arbitragem, tal ativo tem preço positivo devido ao estado da natureza 3, o qual não pode ser precificado. Assim, temos uma contradição. Por outro lado, caso o preço seja 0, se ocorrer o estado da natureza , ganha-se um payoff positivo pagando-se nada por isso, o que é uma arbitragem; porém, não existe arbitragem neste mercado.

=> Logo, o ativo [0 0 3] não pode ser replicado.

LETRA C

Como não existe arbitragem no mercado 2, existem preços de estado. Para provar:

--> Definamos γ ∈ \(R^s_++ como o vetor de preços de estados, tal que q = Xγ; X é a matriz de payoff.

--> Provemos por contradição. Suponhamos que ∄ γ.

       Sendo A = {Xγ: γ ∈ R^s_++} o conjunto de preços de carteira que retornam 
       determinado payoff.

       B = {cq | c \gt 0}

--> A∩B = 0. Ou seja, não existem ativos cujos preços se igualem ao payoff contingente ao estado da natureza. Assim, pelo teorema da separação de hiperplanos, ∃ λ ∈ R_+^n tal que:

         λcq \ltg λXγ , ∀ c ∈ R_+, γ ∈ R_++^s

Como Xγ ∈ R_++^s, tem-se que λq \ltg 0 e Xγ \gt 0. Além do mais, como nossa matriz X é posto cheio, ∃ λ ≠ 0 tal que λX = 0. Assim, λX \gt 0. Consequentemente:

        λq \ltg 0 e λX \gt 0 => uma arbitragem, contradizendo nossa hipótese.


                      => Logo, ∃ o vetor de preços de estados.
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