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Verificação de presença de arbitragem, completeza do mercado e existência e unicidade de preços de estados.

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perguntada Set 7 em Economia por Luiz Filippe (6 pontos)  
editado Out 30 por Luiz Filippe

Considere os pares de payoffs e preços.

Mercado 1)

p = (1,1,0), \[X=\left[\begin{array}{cc} 1.2 & 1 & 0.8 \\ 0.9 & 1.2 & 1.3\\ 0.8 & 1.3 & 1.1\\ \end{array}\right]\]

Mercado 2)

p = (3,3), \[X=\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1\\ \end{array}\right]\]

a) Quais pares são livres de arbitragem?

b) Verifique se o mercado é completo. Em caso negativo, encontre
um ativo que não pode ser replicado nesse mercado.

c) Verifique a existência e a unicidade de preços de estados.

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1 Resposta

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respondida Set 8 por Luiz Filippe (6 pontos)  
editado Out 30 por Luiz Filippe

a)

Para o mercado 1

Dada a matriz de payoffs

\[X=\left[\begin{array}{cc} 1,2 & 1 & 0,8\\ 0,9 & 1,2 & 1,3 \\ 0,8 & 1,3 & 1,1 \end{array}\right]\]

Encontremos os preços para cada estado. Para tal, definamos um vetor \(q = (q_1, q_2, q_3)'\), preço para cada estado possível, tal que \(q'X = p\):

\[X\'q=\left[\begin{array}{cc} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right]\]

Podemos usar a regra de Cramer para encontrar o vetor q:

\[q=\left[\begin{array}{cc} 1,42 \\ -2,74\\ 2,21 \end{array}\right]\]

---> Como o preço do estado 2 é negativo, tem-se que existe oportunidade de arbitragem no mercado 1.

Para o mercado 2

Sabe-se que quando a lei do preço único não é válida, há oportunidades de arbitragem. A lei do preço único é invalidada caso \(Xh = 0 => ph ≠ 0\). Suponhamos \(h'X = 0\). Ao multiplicarmos o vetor h pela matriz de payoffs do mercado:

\[h=\left[\begin{array}{cc} h_1 \\ h_2 \\ \end{array}\right]\]

\[X=\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{array}\right]\]

\(h_1 = 0\)
\(h_1 + h_2 = 0 => h_2 = 0\)

\(ph ≠ 0 => 3 h_1 + 3 h_2 = 3*0 + 3*0 ≠ 0\) (Absurdo!)

---> Logo, a lei do preço único é válida. Deste modo, o mercado 2 está livre de oportunidades de arbitragem.

b)

O mercado não é completo.

Para o mercado ser completo, \(rank(X) = S\). No caso do mercado 2, temos 2 ativos e 3 estados da natureza. O posto da matriz é 2. Logo, o mercado é incompleto.

Um ativo que não pode ser replicado no mercado é aquele que não pertence ao spam {\(x_1\), \( x_2\)}. Assim, por exemplo:

\([0, 0, 3]'\) é não replicável no mercado, pois tal ativo não pertence ao conjunto dos vetores que são combinação linear dos 2 ativos base do mercado.

c)

Como não existe arbitragem no mercado 2, existem preços de estado. Para provar:

--> Definamos \(γ ∈ R^s_+\) como o vetor de preços de estados, tal que \(q = Xγ\); X é a matriz de payoff.

--> Provemos por contradição. Suponhamos que \(∄ γ\).

Sendo A = {Xγ | γ ∈ \(R^s_+\)} o conjunto de preços de carteira que retornam determinado payoff.

B = {cq | c \(>\) 0}

--> A∩B = 0. Ou seja, não existem ativos cujos preços se igualem ao payoff contingente ao estado da natureza. Assim, pelo teorema da separação de hiperplanos, ∃ λ ∈ \(R^n_+\) tal que:

\( λcq ≤ λXγ , ∀ c ∈ R_+, γ ∈ R^s_+\)

Como Xγ ∈ \(R^s_+\), tem-se que \(λq ≤ 0\) e \(Xγ ≥ 0\). Além do mais, como nossa matriz X é posto cheio, ∃ λ ≠ 0 tal que λX = 0. Assim, λX \(>\) 0. Consequentemente:

\( λq ≤ 0\) e \(λX > 0\) => uma arbitragem, contradizendo nossa hipótese.

---> Logo, ∃ o vetor de preços de estados.

comentou Out 30 por danielcajueiro (5,776 pontos)  
Luiz, vc precisa colocar um titulo sugestivo para a sua pergunta (Resuma o problema em uma linha). Vc colocou o inicio da pergunta no titulo. Isso vc pode colocar junto com o resto do material da pergunta.
comentou Out 30 por Luiz Filippe (6 pontos)  
Entendi. Obrigado, Cajueiro!
comentou Nov 3 por Renata Oliveira (6 pontos)  
Luiz, tuas respostas estão bem explicadas e completas, é um ótimo exemplo para comparar mercados completos e incompletos. Na parte (a) acabei chegando a um vetor q um pouco diferente, mas  a conclusão foi a mesma. Encontrei q = [1.90, -3.23, 2.43]. Em relação à letra (c), tenho apenas uma ressalva: note que o mercado 2 é incompleto e, por isso, nem sempre é possível definir os preços de estado (tu mesmo colocaste como exemplo que o payoff [0 0 3]' - e consequentemente o payoff e_3 = [0 0 1]' - não está no span dos ativos do mercado 2). Neste caso, q(e_3) = q_3 não está definido no mercado 2. Assim, uma condição para a existência dos preços de estado é a completude do mercado, o que garante que os payoffs e_s podem ser obtidos por uma combinação dos payoffs do mercado e os preços de estado podem ser obtidos aplicando o funcional de apreçamento a estes payoffs. Em relação à unicidade, lembra que em mercados completos o funcional de apreçamento associa um único preço a cada direito contingente. Já em mercados incompletos, os preços de estado não são únicos pois como a matriz X tem posto menor que S existem infinitas soluções para o sistema p' = q'X. Acho que a tua resposta da (c) se aplicaria ao mercado 1!
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