Gustavo, acredito que o enunciado da questão foi mal escrito pelo autores, dando margem a várias interpretações. Não nos é dado o número de estados nem o número de ativos da economia. Por isso minha resposta acabou ficando diferente da sua.
Por conta dos problemas da questão acabei resolvendo o problema como se ele fosse determinístico.
Item a:
Considere um problema determinístico com dois períodos. A restrição orçamentária de um indivíduo \(i\) qualquer é então:
\(RO_1 : c^i_1=w^i_1-s\)
\(RO_2 : c^i_2=w^i_2-s(1+r)\)
Onde \(s\) é a poupança e \(r\) é a taxa de juros que por hipótese é estritamente maior que zero, i.e.: \(r \gt0\).
Isolando \(s\) na primeira restrição acima e substituindo na segunda, obtemos a restrição orçamentária intertemporal para um indivíduo qualquer:
\(RO : c^i_1+\frac{c^i_2}{1+r}=w^i_1+\frac{w^i_2}{1+r}\)
O enunciado afirma que as dotações são as mesmas para os dois indivíduos, de forma que:
\(RO : c^i_1+\frac{c^i_2}{1+r}=w_1+\frac{w_2}{1+r}\)
Problema do consumidor A:
Temos que a utilidade do consumidor A é:
\(U(c^A_1,c^A_2)=\frac{c{^A_1}^{(1-\gamma)}-1}{1-\gamma}+\frac{c{^A_2}^{(1-\gamma)}-1}{1-\gamma}\)
O problema do consumidor A é então:
\(\displaystyle\max_{c^A_1,c^A_2} \frac{c{^A_1}^{(1-\gamma)}-1}{1-\gamma}+\frac{c{^A_2}^{(1-\gamma)}-1}{1-\gamma} \quad s.a. \quad c^A_1+\frac{c^A_2}{1+r}=w_1+\frac{w_2}{1+r} \)
O Lagrangeano de problema é:
\(\mathcal{L}= \frac{c{^A_1}^{(1-\gamma)}-1}{1-\gamma}+\frac{c{^A_2}^{(1-\gamma)}-1}{1-\gamma} + \lambda(w_1+\frac{w_2}{1+r}-c^A_1-\frac{c^A_2}{1+r}) \)
As condições de primeira ordem são:
\(\frac{\partial \mathcal{L}} {\partial c{^A_1}}=0\Rightarrow\lambda=\frac{1}{{c^A_1}^\gamma}\quad(1)\)
\(\frac{\partial \mathcal{L}} {\partial c{^A_2}}=0\Rightarrow\frac{1}{{c^A_2}^\gamma}=\lambda*\frac{1}{1+r}\quad(2)\)
\(\frac{\partial \mathcal{L}} {\partial\lambda }=0\Rightarrow c^A_1+\frac{c^A_2}{1+r}=w_1+\frac{w_2}{1+r}\quad(3)\)
Substituíndo \((1)\) em \((2)\) encontramos:
\(c^{A}_{2}=c^{A}_{1}(1+r)^{1/\gamma}\quad(4)\)
Substituindo a equação \((4)\) em \((3)\) obtemos \((c^{A}_{1})\):
\({c^{A}_{1}}^*=\frac{w_{1}(1+r)+w_{2}}{(1+r)+(1+r)^{1/\gamma}} \quad(5)\)
Substituíndo \((5)\) em \((4)\) encontramos \((c^{A}_{2})\):
\({c^{A}_{2}}^*=\frac{w_{1}(1+r)+w_{2}}{(1+r)+(1+r)^{1/\gamma}}*(1+r)^{1/\gamma} \quad(6)\)
Problema do consumidor B:
Temos que a utilidade do consumidor A é:
\(U(c^{B}_{1},c^{B}_{2})=ln(c^{B}_{1})+ln(c^{B}_{2})\)
O problema do consumidor B é então:
\(\displaystyle\max_{c^{B}_{1},c^B_2} ln(c^B_1)+ln(c^B_2) \quad s.a. \quad c^B_1+\frac{c^B_2}{1+r}=w_1+\frac{w_2}{1+r} \)
Montando o Lagrangeano e resolvendo o problema encontramos as seguintes equações:
\(c^{B}_{2}=c^{B}_{1}(1+r)\quad(7)\)
\({c^{B}_{1}}^*=\frac{w_{1}(1+r)+w_{2}}{2(1+r)} \quad(8)\)
\({c^{B}_{2}}^*=\frac{w_{1}(1+r)+w_{2}}{2} \quad(9)\)
Item b:
Vamos mostrar que se \(\gamma \gt 1\), então \(c^{A}_{1} \gt c^{B}_{1}\):
Veja as equações \((5)\) e \((8)\).
\({c^{A}_{1}}^*=\frac{w_{1}(1+r)+w_{2}}{(1+r)+(1+r)^{1/\gamma}}\) ; \({c^{B}_{1}}^*=\frac{w_{1}(1+r)+w_{2}}{2(1+r)}\)
Note que o numerador é uma constante e é o mesmo em ambos os casos. Portanto, basta mostrar que para \(\gamma \gt 1\):
\((1+r) + {(1+r)}^{(1/\gamma)} \lt 2(1+r)\)
Note que:
\({(1+r)}^{(1/\gamma)} \lt (1+r)\), pois \(r\gt0\)
Portanto
\((1+r) + {(1+r)}^{(1/\gamma)} \lt (1+r)+(1+r)=2(1+r)\)
Mostremos agora que se \(\gamma \gt 1\), então \(c^{A}_{2} \lt c^{B}_{2}\):
Olhe as equações \((6)\) e \((9)\):
\({c^{A}_{2}}^*=\frac{w_{1}(1+r)+w_{2}}{(1+r)+(1+r)^{1/\gamma}}*(1+r)^{1/\gamma}\) ; \({c^{B}_{2}}^*=\frac{w_{1}(1+r)+w_{2}}{2}\)
Note que o numerador de ambas as frações é uma constante comum a ambas as equações. Basta mostrar então que:
\(\frac{(1+r)^{1/\gamma} }{(1+r)+(1+r)^{1/\gamma}} \lt \frac{1}{2}\)
Tome \(\frac{(1+r)^{1/\gamma} }{(1+r)+(1+r)^{1/\gamma}}\) e multiplique por \(1 = \frac{(1+r)^{-1/\gamma} }{(1+r)^{-1/\gamma}}\):
\(\frac{(1+r)^{1/\gamma}}{(1+r)+(1+r)^{1/\gamma}} * \frac{(1+r)^{-1/\gamma} }{(1+r)^{-1/\gamma}} = \frac{(1+r)^{0}}{(1+r)^{1-1/\gamma}+(1+r)^{0}} = \frac{1}{(1+r)^{1-1/\gamma}+1}\)
Note porém que \((1+r)^{1-1/\gamma} \gt 1\) para \(\gamma \gt 1\) e \(r\gt0\)
Assim, \(\frac{(1+r)^{1/\gamma} }{(1+r)+(1+r)^{1/\gamma}} = \frac{1}{(1+r)^{1-1/\gamma}+1} \lt \frac{1}{2}\)
Item c:
Das equações \((4)\) e \((7)\) sabemos que:
\(c^{A}_{2}=c^{A}_{1}(1+r)^{1/\gamma}\) ; \(c^{B}_{2}=c^{B}_{1}(1+r)\)
como \(r \gt 0\) e \(\gamma \gt 1\), temos que \(c^{A}_{2} \gt c^{A}_{1}\) e \(c^{B}_{2} \gt c^{B}_{1}\) \((10)\)
Além disso, do item b sabemos que \(c^{A}_{1} \gt c^{B}_{1}\) e \(c^{A}_{2} \lt c^{B}_{2}\) \((11)\)
Subtraíndo as desigualdades \((10)\) e cuidando para que respeitem \((11)\), obtemos:
\(c^{A}_{2} - c^{B}_{2} \gt c^{A}_{1}- c^{B}_{1}\Rightarrow \mid c^{A}_{1} - c^{B}_{1}\mid \lt \mid c^{A}_{2} - c^{B}_{2}\mid\)
Para se convencer desse fato rode o seguinte programa em Python que simula tal situação para \(w_1 = 1\), \(w_2 = 2\), \(r=0.5\) e \(\gamma \in [1,10]\):
for i in range(10,101):
gamma = i/10
w1 = 1
w2 = 2
r = 0.5
c1a =((1+r)*w1+w2)/((1+r)+(1+r)**(1/gamma))
c1b = ((1+r)*w1+w2)/(2*(1+r))
c2a = (((1+r)*w1+w2)*(1+r)**(1/gamma))/((1+r)+(1+r)**(1/gamma))
c2b = ((1+r)*w1 +w2)/2
print("gamma: ", gamma)
print("c1a-c1b: ", abs(c1a-c1b))
print("c2a-c2b: ", abs(c2a-c2b))
if abs(c1a-c1b)<abs(c2a-c2b):
print("OK!!!")
else:
print("NOT OK!!!")
print("_________")
Note que o único valor para o qual a desigualdade não se aplica é para \(\gamma = 1\), logo no início da saída.