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Economia de dois períodos, com dois consumidores e apenas um ativo

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perguntada Set 8 em Finanças por Gustavo Medeiros (21 pontos)  
editado Nov 1 por Gustavo Medeiros

Considere uma economia com dois consumidores onde cada consumidor vive por dois períodos. O consumidor A tem preferência igual a:

\[\sum^{T}_{t=1}U^{A}(c^{A}_{t})=\sum^{2}_{t=1}\frac{(c^{A}_{t})^{(1-\gamma)}-1}{1-\gamma} ,\ \ \ \ \ \ \ \ \gamma\gt1\]

O consumidor B é menos avesso ao risco e tem utilidade igual a:

\[\sum^{T}_{t=1}U^{B}(c^{B}_{t})=\sum^{2}_{t=1}\ln(c^{B}_{t})\]

Cada consumidor recebe a mesma dotação em cada período, denotada por \(\omega_{t}\).
Existe crescimento na economia, de forma que \(\omega_{1}\lt\omega_{2}\)

(a) Ache a solução do problema de cada consumidor.

(b) Mostre que se \(\gamma>1\), então \(c^{A}_{1}\gt c^{B}_{1}\) e \(c^{A}_{2}\lt c^{B}_{2}\)

(c) Conlcula que a diferença no consumo é crescente no período 2, ou seja,
\(\left|c^{a}_{1}-c^{b}_{1}\right|\lt\left|c^{a}_{2}-c^{b}_{2}\right|\)

Qual é a intuição desse resultado?

Asset Pricing for Dynamic Economies, Sumru Altug and Pamela Labadie - Capítulo 1, Exercício 2

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2 Respostas

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respondida Set 8 por Gustavo Medeiros (21 pontos)  
editado Set 9 por Gustavo Medeiros

Primeiro note que se trata de um problema onde há apenas um estado (S=1).
O problema dos agentes A e B pode ser escritos como:

\[\max_{c^{i}_{t},h^{i}}u_{i}(c^{i})=\sum^{2}_{t=1}U_{i}(c^{i}_{t})=u^{i}(c^{i}_{1})+u^{i}(c^{i}_{2})\]

Como o estado é único e a única variação que temos é temporal, as restrições são:

\[c^{i}_{1}\leq \omega^{i}_{1}-p*h^{i}\]

\[c^{i}_{2}\leq \omega^{i}_{2}+X*h^{i}\]

\[-c^{i}_{1}\leq 0\]

\[-c^{i}_{2}\leq 0\]

Note que não existe desconto intertemporal nas utilidades e as utilidades são funções crescentes, logo as duas primeiras restrições são ativas e duas últimas restrições não são ativas, de forma que o Lagrangeano fica:

\( \zeta=u^{i}(c^{i}_{1})+u^{i}(c^{i}_{2})+\lambda^{i}_{1}*(\omega^{i}_{1}-p*h^{i}-c^{i}_{1})+\lambda^{i}_2*(\omega^{i}_{2}+X*h^{i}-c^{i}_{2}) \)

As C.P.O. são:

\[c^{i}_{1}:\frac{\partial u^{i}(c^{i}_{1})}{\partial c^{i}_{1}}-\lambda^{i}_{1}=0\Rightarrow\frac{\partial u^{i}(c^{i}_{1})}{\partial c^{i}_{1}}=\lambda^{i}_{1}\]

\[c^{i}_{2}:\frac{\partial u^{i}(c^{i}_{2})}{\partial c^{i}_{2}}-\lambda^{i}_{2}=0 \Rightarrow\frac{\partial u^{i}(c^{i}_{2})}{\partial c^{i}_{2}}=\lambda^{i}_{2}\]

\[h^{i}:-\lambda^{i}_{1}*p+X*\lambda^{i}_{2}=0 \Rightarrow\lambda^{i}_{1}*p=X*\lambda^{i}_{2}\]

Substituindo os \(\lambda\)'s em \(h^{i}\) temos:

\[\frac{\partial u^{i}(c^{i}_{1})}{\partial c^{i}_{1}}*p=\frac{\partial u^{i}(c^{i}_{2})}{\partial c^{i}_{2}}*X\]

Note que ao manipular o resultado acima conseguimos achar a Equação Básica de Apreçamento:

\[p=\frac{\frac{\partial u^{i}(c^{i}_{2})}{\partial c^{i}_{2}}}{\frac{\partial u^{i}(c^{i}_{1})}{\partial c^{i}_{1}}}*X\]

Para o item (a) vamos considerar as condições de "Market Clearing":

\[\sum_{i}h^{i}=0\]

\[\sum_{i}c^{i}_{1}\leq \sum_{i}\omega^{i}_{1}\]

\[\sum_{i}c^{i}_{2}\leq \sum_{i}\omega^{i}_{2}\]

Lembre que o equilíbrio no mercado consiste em, dado um vetor de preços \(p\), uma alocação {\(h^{i}\)} e uma alocação de consumo {\((c^{i}_{1},c^{i}_{2})\)} que resolva o problema.

Como as restrições são ativas, devido a propriedade crescente da função utilidade de ambos os agentes, podemos substituir as restrições de \(c^{i}_{1}\) e \(c^{i}_{2}\) na condição de primeira ordem de \(h^{i}\). Para o consumidor A:

\[\frac{\partial u^{A}(c^{A}_{1})}{\partial c^{A}_{1}}*p=\frac{\partial u^{A}(c^{A}_{2})}{\partial c^{A}_{2}}*X \Rightarrow c^{-\gamma}_{1}*p=c^{-\gamma}_{2}*X\]

Substituindo \(c^{A}_{t}\) e rearranjando os termos, temos:

\[\frac{c^{A}_{2}}{c^{A}_{1}}=(\frac{X}{p})^{1/\gamma}\]

\[c^{A}_{1}=(\frac{p}{X})^{1/\gamma}*c^{A}_{2}\]

\[c^{A}_{2}=(\frac{X}{p})^{1/\gamma}*c^{A}_{1}\]

Substituindo \(c^{A}_{t}\) chegamos em:

\[\frac{\omega^{A}_{2}+X*h^{A}}{\omega^{A}_{1}-p*h^{A}}=(\frac{x}{p})^{1/\gamma}\]

Isolando \(h^{A}\):

\[h^{A}=\frac{\omega^{A}_{1}*(\frac{x}{p})^{1/\gamma}-\omega^{A}_{2}}{(\frac{x}{p})^{1/\gamma}*p-X}\]

Para o consumidor B:

\[\frac{\partial u^{B}(c^{B}_{1})}{\partial c^{B}_{1}}*p=\frac{\partial u^{B}(c^{B}_{2})}{\partial c^{B}_{2}}*X \Rightarrow \frac{1}{c^{B}_{1}}*p=\frac{1}{c^{B}_{2}}*X\]

Refazendo os passos feitos anteriormente para o consumidor B:

\[\frac{c^{B}_{2}}{c^{B}_{1}}= \frac{X}{p}\]

\[c^{B}_{1}= \frac{p}{X}*c^{B}_{2}\]

\[c^{B}_{2}= \frac{X}{p}*c^{B}_{1}\]

\[\frac{\omega^{B}_{2}+X*h^{B}}{\omega^{B}_{1}-p*h^{B}}=(\frac{x}{p})\]

\[h^{B}=\frac{\omega^{B}_{1}*\frac{x}{p}- \omega^{B}_{2}}{2X}\]

(b) Perceba que a utilidade de A é uma preferência CRRA, de forma que se \(\gamma=0\) a utilidade é linear, se \(\gamma=1\), a utilidade de A seria igual a de B e os consumos seriam iguais, não havendo negociação no mercado de ativos. Quando \(\gamma\gt1\), A passa a apresentar aversão ao risco e, a medida que \(\gamma\) cresce, a aversão ao risco de A aumenta, de forma que o consumo no período 1 também aumenta.

\(c^{A}_{1}\gt c^{B}_{1}\) \(\Rightarrow\) \(c^{A}_{1}-c^{B}_{1}\gt 0\) \(\Rightarrow\) \(\omega^{A}_{1}-p*h^{A}-[\omega^{B}_{1}-p*h^{B}]\gt0\)

Como \(\omega_{1}\) é igual para os dois agentes e \(h^{A}=-h^{B}\) pela condição de "Market Clearing", temos:

\[2p*h^{B}\gt 0\]

Sabendo que o vetor preços \(p\) é positivo e que \(\gamma\gt 1\) o agente A irá vender a descoberto para financiar consumo em \(t=1\), de forma que \(h^{A}\lt 0\) e \(h^{B}\gt 0\), logo temos a desigualdade \(2p*h^{B}\gt 0\) válida assim como \(c^{A}_{1}\gt c^{B}_{1}\).

Fazemos os mesmos passos para validar a desigualdade entre os consumos do segundo periodo:

\(c^{B}_{2}\gt c^{A}_{2}\)\(\Rightarrow\) \(c^{B}_{2}-c^{A}_{2}\gt 0\)\(\Rightarrow\) \(\omega^{B}_{2}+X*h^{B} -[\omega^{A}_{2}+X*h^{A}]\gt 0\)

Pelos fatos citados anteriormente e pela igualdade de \(\omega_{2}\) dos dois agentes, temos:

\[2X*h^{B}\gt 0\]

Que confirma a desigualdade entre os \(c^{i}_{2}\)

(c) Repetindo os passos do item anterior:

\(\left|c^{a}_{1}-c^{b}_{1}\right|\lt \left|c^{a}_{2}-c^{b}_{2}\right|\) \(\Rightarrow\) \(2ph^{B}\lt 2Xh^{B}\) \(\Rightarrow\) \(p\lt X\)

O que é verdadeiro por definição, pois o payoff de uma carteira deve ser maior que seu preço. Desta forma o agente que abdicar de consumo no tempo 1 para receber o payoff no tempo 2 irá, no somatório do consumo, consumir mais do que se fizesse o contrário.

comentou Set 8 por danielcajueiro (5,776 pontos)  
Dica: Use preferencialmente os símbolos \lt e \gt para designar respectivamente os símbolos de menor e maior. Os símbolos de menor e maior usualmente têm outro propósito em páginas de internet e podem não funcionar bem em sua publicação.
http://prorum.com/?qa=213/como-escrever-equacoes-matematicas-usar-latex-no-prorum-com&show=213#q213
comentou Set 9 por Gustavo Medeiros (21 pontos)  
Resposta editada com os símbolos corretos. Obrigado pela dica.
0 votos
respondida Set 28 por Felipe Yudi (21 pontos)  
editado Set 28 por Felipe Yudi

Gustavo, acredito que o enunciado da questão foi mal escrito pelo autores, dando margem a várias interpretações. Não nos é dado o número de estados nem o número de ativos da economia. Por isso minha resposta acabou ficando diferente da sua.
Por conta dos problemas da questão acabei resolvendo o problema como se ele fosse determinístico.

Item a:

Considere um problema determinístico com dois períodos. A restrição orçamentária de um indivíduo \(i\) qualquer é então:

\(RO_1 : c^i_1=w^i_1-s\)
\(RO_2 : c^i_2=w^i_2-s(1+r)\)

Onde \(s\) é a poupança e \(r\) é a taxa de juros que por hipótese é estritamente maior que zero, i.e.: \(r \gt0\).

Isolando \(s\) na primeira restrição acima e substituindo na segunda, obtemos a restrição orçamentária intertemporal para um indivíduo qualquer:

\(RO : c^i_1+\frac{c^i_2}{1+r}=w^i_1+\frac{w^i_2}{1+r}\)

O enunciado afirma que as dotações são as mesmas para os dois indivíduos, de forma que:

\(RO : c^i_1+\frac{c^i_2}{1+r}=w_1+\frac{w_2}{1+r}\)

Problema do consumidor A:
Temos que a utilidade do consumidor A é:

\(U(c^A_1,c^A_2)=\frac{c{^A_1}^{(1-\gamma)}-1}{1-\gamma}+\frac{c{^A_2}^{(1-\gamma)}-1}{1-\gamma}\)

O problema do consumidor A é então:

\(\displaystyle\max_{c^A_1,c^A_2} \frac{c{^A_1}^{(1-\gamma)}-1}{1-\gamma}+\frac{c{^A_2}^{(1-\gamma)}-1}{1-\gamma} \quad s.a. \quad c^A_1+\frac{c^A_2}{1+r}=w_1+\frac{w_2}{1+r} \)

O Lagrangeano de problema é:

\(\mathcal{L}= \frac{c{^A_1}^{(1-\gamma)}-1}{1-\gamma}+\frac{c{^A_2}^{(1-\gamma)}-1}{1-\gamma} + \lambda(w_1+\frac{w_2}{1+r}-c^A_1-\frac{c^A_2}{1+r}) \)

As condições de primeira ordem são:

\(\frac{\partial \mathcal{L}} {\partial c{^A_1}}=0\Rightarrow\lambda=\frac{1}{{c^A_1}^\gamma}\quad(1)\)

\(\frac{\partial \mathcal{L}} {\partial c{^A_2}}=0\Rightarrow\frac{1}{{c^A_2}^\gamma}=\lambda*\frac{1}{1+r}\quad(2)\)

\(\frac{\partial \mathcal{L}} {\partial\lambda }=0\Rightarrow c^A_1+\frac{c^A_2}{1+r}=w_1+\frac{w_2}{1+r}\quad(3)\)

Substituíndo \((1)\) em \((2)\) encontramos:

\(c^{A}_{2}=c^{A}_{1}(1+r)^{1/\gamma}\quad(4)\)

Substituindo a equação \((4)\) em \((3)\) obtemos \((c^{A}_{1})\):

\({c^{A}_{1}}^*=\frac{w_{1}(1+r)+w_{2}}{(1+r)+(1+r)^{1/\gamma}} \quad(5)\)

Substituíndo \((5)\) em \((4)\) encontramos \((c^{A}_{2})\):

\({c^{A}_{2}}^*=\frac{w_{1}(1+r)+w_{2}}{(1+r)+(1+r)^{1/\gamma}}*(1+r)^{1/\gamma} \quad(6)\)

Problema do consumidor B:
Temos que a utilidade do consumidor A é:

\(U(c^{B}_{1},c^{B}_{2})=ln(c^{B}_{1})+ln(c^{B}_{2})\)

O problema do consumidor B é então:

\(\displaystyle\max_{c^{B}_{1},c^B_2} ln(c^B_1)+ln(c^B_2) \quad s.a. \quad c^B_1+\frac{c^B_2}{1+r}=w_1+\frac{w_2}{1+r} \)

Montando o Lagrangeano e resolvendo o problema encontramos as seguintes equações:

\(c^{B}_{2}=c^{B}_{1}(1+r)\quad(7)\)

\({c^{B}_{1}}^*=\frac{w_{1}(1+r)+w_{2}}{2(1+r)} \quad(8)\)

\({c^{B}_{2}}^*=\frac{w_{1}(1+r)+w_{2}}{2} \quad(9)\)

Item b:
Vamos mostrar que se \(\gamma \gt 1\), então \(c^{A}_{1} \gt c^{B}_{1}\):

Veja as equações \((5)\) e \((8)\).

\({c^{A}_{1}}^*=\frac{w_{1}(1+r)+w_{2}}{(1+r)+(1+r)^{1/\gamma}}\) ; \({c^{B}_{1}}^*=\frac{w_{1}(1+r)+w_{2}}{2(1+r)}\)

Note que o numerador é uma constante e é o mesmo em ambos os casos. Portanto, basta mostrar que para \(\gamma \gt 1\):

\((1+r) + {(1+r)}^{(1/\gamma)} \lt 2(1+r)\)

Note que:

\({(1+r)}^{(1/\gamma)} \lt (1+r)\), pois \(r\gt0\)

Portanto

\((1+r) + {(1+r)}^{(1/\gamma)} \lt (1+r)+(1+r)=2(1+r)\)

Mostremos agora que se \(\gamma \gt 1\), então \(c^{A}_{2} \lt c^{B}_{2}\):

Olhe as equações \((6)\) e \((9)\):

\({c^{A}_{2}}^*=\frac{w_{1}(1+r)+w_{2}}{(1+r)+(1+r)^{1/\gamma}}*(1+r)^{1/\gamma}\) ; \({c^{B}_{2}}^*=\frac{w_{1}(1+r)+w_{2}}{2}\)

Note que o numerador de ambas as frações é uma constante comum a ambas as equações. Basta mostrar então que:

\(\frac{(1+r)^{1/\gamma} }{(1+r)+(1+r)^{1/\gamma}} \lt \frac{1}{2}\)

Tome \(\frac{(1+r)^{1/\gamma} }{(1+r)+(1+r)^{1/\gamma}}\) e multiplique por \(1 = \frac{(1+r)^{-1/\gamma} }{(1+r)^{-1/\gamma}}\):

\(\frac{(1+r)^{1/\gamma}}{(1+r)+(1+r)^{1/\gamma}} * \frac{(1+r)^{-1/\gamma} }{(1+r)^{-1/\gamma}} = \frac{(1+r)^{0}}{(1+r)^{1-1/\gamma}+(1+r)^{0}} = \frac{1}{(1+r)^{1-1/\gamma}+1}\)

Note porém que \((1+r)^{1-1/\gamma} \gt 1\) para \(\gamma \gt 1\) e \(r\gt0\)

Assim, \(\frac{(1+r)^{1/\gamma} }{(1+r)+(1+r)^{1/\gamma}} = \frac{1}{(1+r)^{1-1/\gamma}+1} \lt \frac{1}{2}\)

Item c:
Das equações \((4)\) e \((7)\) sabemos que:

\(c^{A}_{2}=c^{A}_{1}(1+r)^{1/\gamma}\) ; \(c^{B}_{2}=c^{B}_{1}(1+r)\)

como \(r \gt 0\) e \(\gamma \gt 1\), temos que \(c^{A}_{2} \gt c^{A}_{1}\) e \(c^{B}_{2} \gt c^{B}_{1}\) \((10)\)

Além disso, do item b sabemos que \(c^{A}_{1} \gt c^{B}_{1}\) e \(c^{A}_{2} \lt c^{B}_{2}\) \((11)\)

Subtraíndo as desigualdades \((10)\) e cuidando para que respeitem \((11)\), obtemos:

\(c^{A}_{2} - c^{B}_{2} \gt c^{A}_{1}- c^{B}_{1}\Rightarrow \mid c^{A}_{1} - c^{B}_{1}\mid \lt \mid c^{A}_{2} - c^{B}_{2}\mid\)

Para se convencer desse fato rode o seguinte programa em Python que simula tal situação para \(w_1 = 1\), \(w_2 = 2\), \(r=0.5\) e \(\gamma \in [1,10]\):

for i in range(10,101):
    gamma = i/10 
    w1 = 1
    w2 = 2
    r = 0.5
    c1a =((1+r)*w1+w2)/((1+r)+(1+r)**(1/gamma))
    c1b = ((1+r)*w1+w2)/(2*(1+r))
    c2a = (((1+r)*w1+w2)*(1+r)**(1/gamma))/((1+r)+(1+r)**(1/gamma))
    c2b = ((1+r)*w1 +w2)/2
    print("gamma: ", gamma)
    print("c1a-c1b: ", abs(c1a-c1b))
    print("c2a-c2b: ", abs(c2a-c2b))
    if abs(c1a-c1b)<abs(c2a-c2b):
        print("OK!!!")
    else:
        print("NOT OK!!!")
    print("_________")

Note que o único valor para o qual a desigualdade não se aplica é para \(\gamma = 1\), logo no início da saída.

comentou Out 1 por Gustavo Medeiros (21 pontos)  
Parabéns pela resposta. Está bem mais próxima do que estamos vendo em sala de aula.
De fato o exercício é ambíguo, por isso utilizei do conteúdo do capítulo do livro em que o exercício se encontra para resolver a questão e assumi certas condições que não estavam explícitas no enunciado para simplificar o problema.  Pelo fato de que minha resolução ter sido mais no começo do curso, talvez tenha me faltado estudar alguns tópicos mais avançados para resolver de forma mais completa e objetiva.
comentou Out 30 por danielcajueiro (5,776 pontos)  
Gustavo, vc precisa colocar um titulo mais sugestivo na sua pergunta. Vc pode colocar essa informação da origem do exercicio no final da sua pergunta como uma "Nota"
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