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Asset Pricing for Dynamic Economies, Sumru Altug and Pamela Labadie - Capítulo 1, Exercício 2

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45 visitas
perguntada Set 8 em Finanças por Gustavo Medeiros (11 pontos)  
editado Set 9 por Gustavo Medeiros

Considere uma economia com dois consumidores onde cada consumidor vive por dois períodos. O consumidor A tem preferência igual a:

\[\sum^{T}_{t=1}U^{A}(c^{A}_{t})=\sum^{2}_{t=1}\frac{(c^{A}_{t})^{(1-\gamma)}-1}{1-\gamma} \,\ \ \ \ \ \ \ \ \, \gamma\gt1\]

O consumidor B é menos avesso ao risco e tem utilidade igual a:

\[\sum^{T}_{t=1}U^{B}(c^{B}_{t})=\sum^{2}_{t=1}\ln(c^{B}_{t})\]

Cada consumidor recebe a mesma dotação em cada período, denotada por \(\omega_{t}\).
Existe crescimento na economia, de forma que \(\omega_{1}\lt\omega_{2}\)

(a) Ache a solução do problema de cada consumidor.

(b) Mostre que se \(\gamma>1\), então \(c^{A}_{1}\gt c^{B}_{1}\) e \(c^{A}_{2}\lt c^{B}_{2}\)

(c) Conlcula que a diferença no consumo é crescente no período 2, ou seja,
\(\left|c^{a}_{1}-c^{b}_{1}\right|\lt\left|c^{a}_{2}-c^{b}_{2}\right|\)

Qual é a intuição desse resultado?

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2 Respostas

0 votos
respondida Set 8 por Gustavo Medeiros (11 pontos)  
editado Set 9 por Gustavo Medeiros

Primeiro note que se trata de um problema onde há apenas um estado (S=1).
O problema dos agentes A e B pode ser escritos como:

\[\max_{c^{i}_{t},h^{i}}u_{i}(c^{i})=\sum^{2}_{t=1}U_{i}(c^{i}_{t})=u^{i}(c^{i}_{1})+u^{i}(c^{i}_{2})\]

Como o estado é único e a única variação que temos é temporal, as restrições são:

\[c^{i}_{1}\leq \omega^{i}_{1}-p*h^{i}\]

\[c^{i}_{2}\leq \omega^{i}_{2}+X*h^{i}\]

\[-c^{i}_{1}\leq 0\]

\[-c^{i}_{2}\leq 0\]

Note que não existe desconto intertemporal nas utilidades e as utilidades são funções crescentes, logo as duas primeiras restrições são ativas e duas últimas restrições não são ativas, de forma que o Lagrangeano fica:

\( \zeta=u^{i}(c^{i}_{1})+u^{i}(c^{i}_{2})+\lambda^{i}_{1}*(\omega^{i}_{1}-p*h^{i}-c^{i}_{1})+\lambda^{i}_2*(\omega^{i}_{2}+X*h^{i}-c^{i}_{2}) \)

As C.P.O. são:

\[c^{i}_{1}:\frac{\partial u^{i}(c^{i}_{1})}{\partial c^{i}_{1}}-\lambda^{i}_{1}=0\Rightarrow\frac{\partial u^{i}(c^{i}_{1})}{\partial c^{i}_{1}}=\lambda^{i}_{1}\]

\[c^{i}_{2}:\frac{\partial u^{i}(c^{i}_{2})}{\partial c^{i}_{2}}-\lambda^{i}_{2}=0 \Rightarrow\frac{\partial u^{i}(c^{i}_{2})}{\partial c^{i}_{2}}=\lambda^{i}_{2}\]

\[h^{i}:-\lambda^{i}_{1}*p+X*\lambda^{i}_{2}=0 \Rightarrow\lambda^{i}_{1}*p=X*\lambda^{i}_{2}\]

Substituindo os \(\lambda\)'s em \(h^{i}\) temos:

\[\frac{\partial u^{i}(c^{i}_{1})}{\partial c^{i}_{1}}*p=\frac{\partial u^{i}(c^{i}_{2})}{\partial c^{i}_{2}}*X\]

Note que ao manipular o resultado acima conseguimos achar a Equação Básica de Apreçamento:

\[p=\frac{\frac{\partial u^{i}(c^{i}_{2})}{\partial c^{i}_{2}}}{\frac{\partial u^{i}(c^{i}_{1})}{\partial c^{i}_{1}}}*X\]

Para o item (a) vamos considerar as condições de "Market Clearing":

\[\sum_{i}h^{i}=0\]

\[\sum_{i}c^{i}_{1}\leq \sum_{i}\omega^{i}_{1}\]

\[\sum_{i}c^{i}_{2}\leq \sum_{i}\omega^{i}_{2}\]

Lembre que o equilíbrio no mercado consiste em, dado um vetor de preços \(p\), uma alocação {\(h^{i}\)} e uma alocação de consumo {\((c^{i}_{1},c^{i}_{2})\)} que resolva o problema.

Como as restrições são ativas, devido a propriedade crescente da função utilidade de ambos os agentes, podemos substituir as restrições de \(c^{i}_{1}\) e \(c^{i}_{2}\) na condição de primeira ordem de \(h^{i}\). Para o consumidor A:

\[\frac{\partial u^{A}(c^{A}_{1})}{\partial c^{A}_{1}}*p=\frac{\partial u^{A}(c^{A}_{2})}{\partial c^{A}_{2}}*X \Rightarrow c^{-\gamma}_{1}*p=c^{-\gamma}_{2}*X\]

Substituindo \(c^{A}_{t}\) e rearranjando os termos, temos:

\[\frac{c^{A}_{2}}{c^{A}_{1}}=(\frac{X}{p})^{1/\gamma}\]

\[c^{A}_{1}=(\frac{p}{X})^{1/\gamma}*c^{A}_{2}\]

\[c^{A}_{2}=(\frac{X}{p})^{1/\gamma}*c^{A}_{1}\]

Substituindo \(c^{A}_{t}\) chegamos em:

\[\frac{\omega^{A}_{2}+X*h^{A}}{\omega^{A}_{1}-p*h^{A}}=(\frac{x}{p})^{1/\gamma}\]

Isolando \(h^{A}\):

\[h^{A}=\frac{\omega^{A}_{1}*(\frac{x}{p})^{1/\gamma}-\omega^{A}_{2}}{(\frac{x}{p})^{1/\gamma}*p-X}\]

Para o consumidor B:

\[\frac{\partial u^{B}(c^{B}_{1})}{\partial c^{B}_{1}}*p=\frac{\partial u^{B}(c^{B}_{2})}{\partial c^{B}_{2}}*X \Rightarrow \frac{1}{c^{B}_{1}}*p=\frac{1}{c^{B}_{2}}*X\]

Refazendo os passos feitos anteriormente para o consumidor B:

\[\frac{c^{B}_{2}}{c^{B}_{1}}= \frac{X}{p}\]

\[c^{B}_{1}= \frac{p}{X}*c^{B}_{2}\]

\[c^{B}_{2}= \frac{X}{p}*c^{B}_{1}\]

\[\frac{\omega^{B}_{2}+X*h^{B}}{\omega^{B}_{1}-p*h^{B}}=(\frac{x}{p})\]

\[h^{B}=\frac{\omega^{B}_{1}*\frac{x}{p}- \omega^{B}_{2}}{2X}\]

(b) Perceba que a utilidade de A é uma preferência CRRA, de forma que se \(\gamma=0\) a utilidade é linear, se \(\gamma=1\), a utilidade de A seria igual a de B e os consumos seriam iguais, não havendo negociação no mercado de ativos. Quando \(\gamma\gt1\), A passa a apresentar aversão ao risco e, a medida que \(\gamma\) cresce, a aversão ao risco de A aumenta, de forma que o consumo no período 1 também aumenta.

\(c^{A}_{1}\gt c^{B}_{1}\) \(\Rightarrow\) \(c^{A}_{1}-c^{B}_{1}\gt 0\) \(\Rightarrow\) \(\omega^{A}_{1}-p*h^{A}-[\omega^{B}_{1}-p*h^{B}]\gt0\)

Como \(\omega_{1}\) é igual para os dois agentes e \(h^{A}=-h^{B}\) pela condição de "Market Clearing", temos:

\[2p*h^{B}\gt 0\]

Sabendo que o vetor preços \(p\) é positivo e que \(\gamma\gt 1\) o agente A irá vender a descoberto para financiar consumo em \(t=1\), de forma que \(h^{A}\lt 0\) e \(h^{B}\gt 0\), logo temos a desigualdade \(2p*h^{B}\gt 0\) válida assim como \(c^{A}_{1}\gt c^{B}_{1}\).

Fazemos os mesmos passos para validar a desigualdade entre os consumos do segundo periodo:

\(c^{B}_{2}\gt c^{A}_{2}\)\(\Rightarrow\) \(c^{B}_{2}-c^{A}_{2}\gt 0\)\(\Rightarrow\) \(\omega^{B}_{2}+X*h^{B} -[\omega^{A}_{2}+X*h^{A}]\gt 0\)

Pelos fatos citados anteriormente e pela igualdade de \(\omega_{2}\) dos dois agentes, temos:

\[2X*h^{B}\gt 0\]

Que confirma a desigualdade entre os \(c^{i}_{2}\)

(c) Repetindo os passos do item anterior:

\(\left|c^{a}_{1}-c^{b}_{1}\right|\lt \left|c^{a}_{2}-c^{b}_{2}\right|\) \(\Rightarrow\) \(2ph^{B}\lt 2Xh^{B}\) \(\Rightarrow\) \(p\lt X\)

O que é verdadeiro por definição, pois o payoff de uma carteira deve ser maior que seu preço. Desta forma o agente que abdicar de consumo no tempo 1 para receber o payoff no tempo 2 irá, no somatório do consumo, consumir mais do que se fizesse o contrário.

comentou Set 8 por danielcajueiro (5,726 pontos)  
Dica: Use preferencialmente os símbolos \lt e \gt para designar respectivamente os símbolos de menor e maior. Os símbolos de menor e maior usualmente têm outro propósito em páginas de internet e podem não funcionar bem em sua publicação.
http://prorum.com/?qa=213/como-escrever-equacoes-matematicas-usar-latex-no-prorum-com&show=213#q213
comentou Set 9 por Gustavo Medeiros (11 pontos)  
Resposta editada com os símbolos corretos. Obrigado pela dica.
0 votos
respondida Set 28 por Felipe Yudi (21 pontos)  
editado Set 28 por Felipe Yudi

Gustavo, acredito que o enunciado da questão foi mal escrito pelo autores, dando margem a várias interpretações. Não nos é dado o número de estados nem o número de ativos da economia. Por isso minha resposta acabou ficando diferente da sua.
Por conta dos problemas da questão acabei resolvendo o problema como se ele fosse determinístico.

Item a:

Considere um problema determinístico com dois períodos. A restrição orçamentária de um indivíduo \(i\) qualquer é então:

\(RO_1 : c^i_1=w^i_1-s\)
\(RO_2 : c^i_2=w^i_2-s(1+r)\)

Onde \(s\) é a poupança e \(r\) é a taxa de juros que por hipótese é estritamente maior que zero, i.e.: \(r \gt0\).

Isolando \(s\) na primeira restrição acima e substituindo na segunda, obtemos a restrição orçamentária intertemporal para um indivíduo qualquer:

\(RO : c^i_1+\frac{c^i_2}{1+r}=w^i_1+\frac{w^i_2}{1+r}\)

O enunciado afirma que as dotações são as mesmas para os dois indivíduos, de forma que:

\(RO : c^i_1+\frac{c^i_2}{1+r}=w_1+\frac{w_2}{1+r}\)

Problema do consumidor A:
Temos que a utilidade do consumidor A é:

\(U(c^A_1,c^A_2)=\frac{c{^A_1}^{(1-\gamma)}-1}{1-\gamma}+\frac{c{^A_2}^{(1-\gamma)}-1}{1-\gamma}\)

O problema do consumidor A é então:

\(\displaystyle\max_{c^A_1,c^A_2} \frac{c{^A_1}^{(1-\gamma)}-1}{1-\gamma}+\frac{c{^A_2}^{(1-\gamma)}-1}{1-\gamma} \quad s.a. \quad c^A_1+\frac{c^A_2}{1+r}=w_1+\frac{w_2}{1+r} \)

O Lagrangeano de problema é:

\(\mathcal{L}= \frac{c{^A_1}^{(1-\gamma)}-1}{1-\gamma}+\frac{c{^A_2}^{(1-\gamma)}-1}{1-\gamma} + \lambda(w_1+\frac{w_2}{1+r}-c^A_1-\frac{c^A_2}{1+r}) \)

As condições de primeira ordem são:

\(\frac{\partial \mathcal{L}} {\partial c{^A_1}}=0\Rightarrow\lambda=\frac{1}{{c^A_1}^\gamma}\quad(1)\)

\(\frac{\partial \mathcal{L}} {\partial c{^A_2}}=0\Rightarrow\frac{1}{{c^A_2}^\gamma}=\lambda*\frac{1}{1+r}\quad(2)\)

\(\frac{\partial \mathcal{L}} {\partial\lambda }=0\Rightarrow c^A_1+\frac{c^A_2}{1+r}=w_1+\frac{w_2}{1+r}\quad(3)\)

Substituíndo \((1)\) em \((2)\) encontramos:

\(c^{A}_{2}=c^{A}_{1}(1+r)^{1/\gamma}\quad(4)\)

Substituindo a equação \((4)\) em \((3)\) obtemos \((c^{A}_{1})\):

\({c^{A}_{1}}^*=\frac{w_{1}(1+r)+w_{2}}{(1+r)+(1+r)^{1/\gamma}} \quad(5)\)

Substituíndo \((5)\) em \((4)\) encontramos \((c^{A}_{2})\):

\({c^{A}_{2}}^*=\frac{w_{1}(1+r)+w_{2}}{(1+r)+(1+r)^{1/\gamma}}*(1+r)^{1/\gamma} \quad(6)\)

Problema do consumidor B:
Temos que a utilidade do consumidor A é:

\(U(c^{B}_{1},c^{B}_{2})=ln(c^{B}_{1})+ln(c^{B}_{2})\)

O problema do consumidor B é então:

\(\displaystyle\max_{c^{B}_{1},c^B_2} ln(c^B_1)+ln(c^B_2) \quad s.a. \quad c^B_1+\frac{c^B_2}{1+r}=w_1+\frac{w_2}{1+r} \)

Montando o Lagrangeano e resolvendo o problema encontramos as seguintes equações:

\(c^{B}_{2}=c^{B}_{1}(1+r)\quad(7)\)

\({c^{B}_{1}}^*=\frac{w_{1}(1+r)+w_{2}}{2(1+r)} \quad(8)\)

\({c^{B}_{2}}^*=\frac{w_{1}(1+r)+w_{2}}{2} \quad(9)\)

Item b:
Vamos mostrar que se \(\gamma \gt 1\), então \(c^{A}_{1} \gt c^{B}_{1}\):

Veja as equações \((5)\) e \((8)\).

\({c^{A}_{1}}^*=\frac{w_{1}(1+r)+w_{2}}{(1+r)+(1+r)^{1/\gamma}}\) ; \({c^{B}_{1}}^*=\frac{w_{1}(1+r)+w_{2}}{2(1+r)}\)

Note que o numerador é uma constante e é o mesmo em ambos os casos. Portanto, basta mostrar que para \(\gamma \gt 1\):

\((1+r) + {(1+r)}^{(1/\gamma)} \lt 2(1+r)\)

Note que:

\({(1+r)}^{(1/\gamma)} \lt (1+r)\), pois \(r\gt0\)

Portanto

\((1+r) + {(1+r)}^{(1/\gamma)} \lt (1+r)+(1+r)=2(1+r)\)

Mostremos agora que se \(\gamma \gt 1\), então \(c^{A}_{2} \lt c^{B}_{2}\):

Olhe as equações \((6)\) e \((9)\):

\({c^{A}_{2}}^*=\frac{w_{1}(1+r)+w_{2}}{(1+r)+(1+r)^{1/\gamma}}*(1+r)^{1/\gamma}\) ; \({c^{B}_{2}}^*=\frac{w_{1}(1+r)+w_{2}}{2}\)

Note que o numerador de ambas as frações é uma constante comum a ambas as equações. Basta mostrar então que:

\(\frac{(1+r)^{1/\gamma} }{(1+r)+(1+r)^{1/\gamma}} \lt \frac{1}{2}\)

Tome \(\frac{(1+r)^{1/\gamma} }{(1+r)+(1+r)^{1/\gamma}}\) e multiplique por \(1 = \frac{(1+r)^{-1/\gamma} }{(1+r)^{-1/\gamma}}\):

\(\frac{(1+r)^{1/\gamma}}{(1+r)+(1+r)^{1/\gamma}} * \frac{(1+r)^{-1/\gamma} }{(1+r)^{-1/\gamma}} = \frac{(1+r)^{0}}{(1+r)^{1-1/\gamma}+(1+r)^{0}} = \frac{1}{(1+r)^{1-1/\gamma}+1}\)

Note porém que \((1+r)^{1-1/\gamma} \gt 1\) para \(\gamma \gt 1\) e \(r\gt0\)

Assim, \(\frac{(1+r)^{1/\gamma} }{(1+r)+(1+r)^{1/\gamma}} = \frac{1}{(1+r)^{1-1/\gamma}+1} \lt \frac{1}{2}\)

Item c:
Das equações \((4)\) e \((7)\) sabemos que:

\(c^{A}_{2}=c^{A}_{1}(1+r)^{1/\gamma}\) ; \(c^{B}_{2}=c^{B}_{1}(1+r)\)

como \(r \gt 0\) e \(\gamma \gt 1\), temos que \(c^{A}_{2} \gt c^{A}_{1}\) e \(c^{B}_{2} \gt c^{B}_{1}\) \((10)\)

Além disso, do item b sabemos que \(c^{A}_{1} \gt c^{B}_{1}\) e \(c^{A}_{2} \lt c^{B}_{2}\) \((11)\)

Subtraíndo as desigualdades \((10)\) e cuidando para que respeitem \((11)\), obtemos:

\(c^{A}_{2} - c^{B}_{2} \gt c^{A}_{1}- c^{B}_{1}\Rightarrow \mid c^{A}_{1} - c^{B}_{1}\mid \lt \mid c^{A}_{2} - c^{B}_{2}\mid\)

Para se convencer desse fato rode o seguinte programa em Python que simula tal situação para \(w_1 = 1\), \(w_2 = 2\), \(r=0.5\) e \(\gamma \in [1,10]\):

for i in range(10,101):
    gamma = i/10 
    w1 = 1
    w2 = 2
    r = 0.5
    c1a =((1+r)*w1+w2)/((1+r)+(1+r)**(1/gamma))
    c1b = ((1+r)*w1+w2)/(2*(1+r))
    c2a = (((1+r)*w1+w2)*(1+r)**(1/gamma))/((1+r)+(1+r)**(1/gamma))
    c2b = ((1+r)*w1 +w2)/2
    print("gamma: ", gamma)
    print("c1a-c1b: ", abs(c1a-c1b))
    print("c2a-c2b: ", abs(c2a-c2b))
    if abs(c1a-c1b)<abs(c2a-c2b):
        print("OK!!!")
    else:
        print("NOT OK!!!")
    print("_________")

Note que o único valor para o qual a desigualdade não se aplica é para \(\gamma = 1\), logo no início da saída.

comentou Out 1 por Gustavo Medeiros (11 pontos)  
Parabéns pela resposta. Está bem mais próxima do que estamos vendo em sala de aula.
De fato o exercício é ambíguo, por isso utilizei do conteúdo do capítulo do livro em que o exercício se encontra para resolver a questão e assumi certas condições que não estavam explícitas no enunciado para simplificar o problema.  Pelo fato de que minha resolução ter sido mais no começo do curso, talvez tenha me faltado estudar alguns tópicos mais avançados para resolver de forma mais completa e objetiva.
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