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Opções e Mercados Completos

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perguntada Set 19 em Finanças por Felipe Yudi (21 pontos)  
editado Set 20 por Felipe Yudi

Opções e mercados completos. A noção de mercados completos é essencial para a valoração por arbitragem. Os exemplos a seguir são desenhados para ilustrar a noção de que pode ser possível completar mercados com a negociação de contratos de opções de ativos pré-existentes.

1-) Em um modelo de dois períodos com três estados da natureza \(e_{1}\) ,\(e_{2}\) e \(e_{3}\), considere um único ativo com payoff \(ã_{1}\) dado por (4,3,1).
Mostre que a introdução de dois contratos de opção com diferentes preços de exercício permite que o mercado se complete.
Como o resultado mudaria se o payoff \(e_{3}\) de \(ã_{1}\) fosse 3 e não 1? Explique.

2-) Considere um segundo cenário em que o mercado é composto por dois ativos. Os estados da natureza no segundo período são \(e_{1}\), \(e_{2}\), \(e_{3}\) e \(e_{4}\) e os vetores dos payoffs são:

\[\begin{array}{c} a_{1}=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\2\\2\end{bmatrix} \end{array} e \begin{array}{c} a_{2}=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\1\\2\end{bmatrix} \end{array}\]

É possível completar esse mercado introduzindo contratos de opção em \(a_{1}\) e \(a_{2}\)? Explique.

3-) Prove que é possível criar uma carteira com os dois ativos de forma que os contratos de opção nesse fundo tornem o mercado completo.

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2 Respostas

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respondida Set 19 por Felipe Yudi (21 pontos)  
editado Set 20 por Felipe Yudi

Nota1:
Problema corrigido.

O código acima deveria gerar a seguinte expressão:
A imagem será apresentada aqui.

Por algum motivo o mesmo código funciona no editor (na janela Preview),
mas não é interpretado corretamente no corpo da pergunta.

comentou Set 20 por danielcajueiro (5,726 pontos)  
Estava dando erro porque vc esta usando um codigo de latex "frágil".
comentou Set 20 por Felipe Yudi (21 pontos)  
Problema corrigido.
0 votos
respondida Set 20 por Felipe Yudi (21 pontos)  
editado Set 20 por Felipe Yudi

Resposta: ex1

Note que no caso, \(S = 3\) e

\begin{array}{c} ã_{1}=\begin{bmatrix} 4 \\ 3 \\1\end{bmatrix} \end{array}

de forma que a matriz de payoffs é:

\begin{array}{c} X=\begin{bmatrix} 4 \\ 3 \\1\end{bmatrix} \end{array}

Claramente \(X\) não é capaz de gerar sozinha todo o \(R^{3}\), pois \(|X|=1<3=S\).</p>

Vamos agora introduzir dois contratos de opção em \(ã_{1}\) com preços de exercício \(1\) e \(3\) (Lembrando que para um contrato de opção tem preço de exercício \(K\) e payoff \(c_{i}\) onde \(c_{i}=max\{x_i-K,0\}\))

\[ c(ã_{1},1)=\begin{bmatrix} 4 -1\\ 3-1 \\1-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3\\2\\1\end{bmatrix} \]

e

\[ c(ã_{1},3)=\begin{bmatrix} 4 -3\\ 3-3 \\1-3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\0\\0\end{bmatrix} \]

Note que introduzindo esses contratos de opção ao mercado podemos completá-lo, pois:

\begin{array}{c} X=\begin{bmatrix} 4 &3&1\\ 3&2&0 \\1&0&0\end{bmatrix} \end{array}

Operando nas linhas de \( X\) temos que:

\begin{array}{c} X=\begin{bmatrix} 4 &3&1\\ 0&-1/4&-3/4 \\0&0&0\end{bmatrix} \end{array}

Ou seja, \( X\) tem posto \( S\), de forma que o mercado é completo.

Suponha agora que
\begin{array}{c} ã_{1}=\begin{bmatrix} 4 \\ 3 \\3\end{bmatrix} \end{array}

Agora, todos os contratos de opção não triviais (i.e., aqueles que não são uma vetor de zeros) em \(ã_{1}\) tem a forma:

\[ c(ã_{1},x) = \left\{ \begin{array}{ll}\begin{bmatrix} 4 -x\\ 3-x \\3-x\end{bmatrix} & \text{se }x\lt 3\\\begin{bmatrix} 4-x\\0 \\0\end{bmatrix} & \text{se } 3\leqslant x\lt 4.\end{array} \right. \]

Assim, toda matriz formada por contratos de opção em \(ã_{1}\) terá duas colunas idênticas e não terá posto \(S\).

Por exemplo, criando dois contratos de opção a partir de \(ã_{1}\):

\[ c(ã_{1},1)=\begin{bmatrix} 4 -1\\ 3-1 \\3-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3\\2\\2\end{bmatrix} \]
e
\[ c(ã_{1},2)=\begin{bmatrix} 4 -2\\ 3-2 \\3-2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2\\1\\1\end{bmatrix} \]
Então
\begin{array}{c} X=\begin{bmatrix} 4 &3&2\\ 3&2&1 \\3&2&1\end{bmatrix} \end{array}
Como \( X\) tem duas linha iguais, claramente \(|X|\lt3=S\).

Resposta ex2:

Note que no caso,

\begin{array}{c} X=\begin{bmatrix} 1&1\\ 1&2 \\2&1\\2&2\end{bmatrix} \end{array}
de forma que \(|X|=2\lt4=S\).

Contudo, não podemos simplesmente completar \(X\) com contratos de opções derivados de \(a_{1}\) e \(a_{2}\). Vejamos o porquê:

Os contratos de opção não triviais que podemos derivar de \(a_{1}\) e \(a_{2}\) são da forma:
\[\begin{array}{c} c(a_{1},\alpha)=\begin{bmatrix} 1-\alpha\\ 1-\alpha \\2-\alpha\\2-\alpha\end{bmatrix} \end{array} e \begin{array}{c} c(a_{2},\beta)=\begin{bmatrix} 1-\beta \\ 2-\beta \\1-\beta\\2-\beta\end{bmatrix} \end{array}\]
Para \(\alpha, \beta \lt2\).
Uma matriz de payoffs formada a partir de tais contratos seria então:

\begin{array}{c} X=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1-\alpha & 1-\beta\\1 & 2 & 1-\alpha & 2-\beta\\ 2 & 1 & 2-\alpha & 1-\beta\\ 2 & 2 & 2-\alpha & 2-\beta \end{bmatrix} \end{array}

Subtraindo a primeira linha da segunda e a terceira da quarta, obtemos:
\begin{array}{c} X=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1-\alpha & 1-\beta\\0 & 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 2-\alpha & 1-\beta\\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{array}
Que por ter duas linhas iguais tem o posto menor do que \(4=S\)

Resposta ex3:
Vamos mostrar com um exemplo que é possível completar esse mercado. Para isso, é necessário criar um novo ativo \(a_{3}\) que seja uma combinação linear de \(a_{1}\) e \(a_{2}\) e dele extrair os contratos de opções de compra.
Seja \(a_{3}=2a_{1}+a_{2}\). Então:

\[ a_{3}=2\begin{bmatrix} 1\\ 1 \\2\\2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1\\ 2 \\1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3\\ 4 \\5\\6\end{bmatrix} \]
derivando então três contratos de opção e formando uma nova matriz de payoffs:

\[\begin{array}{c} c(a_{3},3)=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\2\\3\end{bmatrix} \end{array} ; \begin{array}{c} c(a_{3},4)=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\1\\2\end{bmatrix} \end{array};\begin{array}{c} c(a_{3},5)=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\0\\1\end{bmatrix} \end{array}\]

\begin{array}{c} X=\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 & 0\\4 & 1 & 0 & 0\\ 5 & 2 & 1 & 0\\ 6 & 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \end{array}

Essa matriz tem posto \(4=S\), pois podemos operar em suas linhas e obter:
\begin{array}{c} \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{array}

Assim, criamos uma carteira com a combinação linear dos ativos \(a_{1}\) e \(a_{2}\), derivamos contratos de opção e conseguimos completar o mercado.

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