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Opções e Mercados Completos

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perguntada Set 19 em Finanças por Felipe Yudi (21 pontos)  
editado Set 20 por Felipe Yudi

Opções e mercados completos. A noção de mercados completos é essencial para a valoração por arbitragem. Os exemplos a seguir são desenhados para ilustrar a noção de que pode ser possível completar mercados com a negociação de contratos de opções de ativos pré-existentes.

1-) Em um modelo de dois períodos com três estados da natureza \(e_{1}\) ,\(e_{2}\) e \(e_{3}\), considere um único ativo com payoff \(ã_{1}\) dado por (4,3,1).
Mostre que a introdução de dois contratos de opção com diferentes preços de exercício permite que o mercado se complete.
Como o resultado mudaria se o payoff \(e_{3}\) de \(ã_{1}\) fosse 3 e não 1? Explique.

2-) Considere um segundo cenário em que o mercado é composto por dois ativos. Os estados da natureza no segundo período são \(e_{1}\), \(e_{2}\), \(e_{3}\) e \(e_{4}\) e os vetores dos payoffs são:

\[\begin{array}{c} a_{1}=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\2\\2\end{bmatrix} \end{array} e \begin{array}{c} a_{2}=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\1\\2\end{bmatrix} \end{array}\]

É possível completar esse mercado introduzindo contratos de opção em \(a_{1}\) e \(a_{2}\)? Explique.

3-) Prove que é possível criar uma carteira com os dois ativos de forma que os contratos de opção nesse fundo tornem o mercado completo.

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1 Resposta

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respondida Set 20 por Felipe Yudi (21 pontos)  
editado Nov 9 por Felipe Yudi

Resposta: ex1

Note que no caso, \(S = 3\) e

\begin{array}{c} ã_{1}=\begin{bmatrix} 4 \\ 3 \\1\end{bmatrix} \end{array}

de forma que a matriz de payoffs é:

\begin{array}{c} X=\begin{bmatrix} 4 \\ 3 \\1\end{bmatrix} \end{array}

Claramente \(X\) não é capaz de gerar sozinha todo o \(R^{3}\), pois \(|X|=1<3=S\).</p>

Vamos agora introduzir dois contratos de opção em \(ã_{1}\) com preços de exercício \(1\) e \(3\) (Lembrando que para um contrato de opção tem preço de exercício \(K\) e payoff \(c_{i}\) onde \(c_{i}=max\{x_i-K,0\}\))

\[ c(ã_{1},1)=\begin{bmatrix} 4 -1\\ 3-1 \\1-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3\\2\\0\end{bmatrix} \]

e

\[ c(ã_{1},3)=\begin{bmatrix} 4 -3\\ 3-3 \\1-3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\0\\0\end{bmatrix} \]

Note que introduzindo esses contratos de opção ao mercado podemos completá-lo, pois:

\begin{array}{c} X=\begin{bmatrix} 4 &3&1\\ 3&2&0 \\1&0&0\end{bmatrix} \end{array}

Operando nas linhas de \( X\) temos que:

\begin{array}{c} X=\begin{bmatrix} 4 &3&1\\ 0&-1/4&-3/4 \\0&0&2\end{bmatrix} \end{array}

Ou seja, \( X\) tem posto \( S\), de forma que o mercado é completo.

Suponha agora que
\begin{array}{c} ã_{1}=\begin{bmatrix} 4 \\ 3 \\3\end{bmatrix} \end{array}

Agora, todos os contratos de opção não triviais (i.e., aqueles que não são uma vetor de zeros) em \(ã_{1}\) tem a forma:

\[ c(ã_{1},x) = \left\{ \begin{array}{ll}\begin{bmatrix} 4 -x\\ 3-x \\3-x\end{bmatrix} & \text{se }x\lt 3\\\begin{bmatrix} 4-x\\0 \\0\end{bmatrix} & \text{se } 3\leqslant x\lt 4.\end{array} \right. \]

Assim, toda matriz formada por contratos de opção em \(ã_{1}\) terá duas colunas idênticas e não terá posto \(S\).

Por exemplo, criando dois contratos de opção a partir de \(ã_{1}\):

\[ c(ã_{1},1)=\begin{bmatrix} 4 -1\\ 3-1 \\3-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3\\2\\2\end{bmatrix} \]
e
\[ c(ã_{1},2)=\begin{bmatrix} 4 -2\\ 3-2 \\3-2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2\\1\\1\end{bmatrix} \]
Então
\begin{array}{c} X=\begin{bmatrix} 4 &3&2\\ 3&2&1 \\3&2&1\end{bmatrix} \end{array}
Como \( X\) tem duas linha iguais, claramente \(|X|\lt3=S\).

Resposta ex2:

Note que no caso,

\begin{array}{c} X=\begin{bmatrix} 1&1\\ 1&2 \\2&1\\2&2\end{bmatrix} \end{array}
de forma que \(|X|=2\lt4=S\).

Contudo, não podemos simplesmente completar \(X\) com contratos de opções derivados de \(a_{1}\) e \(a_{2}\). Vejamos o porquê:

Os contratos de opção não triviais que podemos derivar de \(a_{1}\) e \(a_{2}\) são da forma:
\[\begin{array}{c} c(a_{1},\alpha)=\begin{bmatrix} 1-\alpha\\ 1-\alpha \\2-\alpha\\2-\alpha\end{bmatrix} \end{array} e \begin{array}{c} c(a_{2},\beta)=\begin{bmatrix} 1-\beta \\ 2-\beta \\1-\beta\\2-\beta\end{bmatrix} \end{array}\]
Para \(\alpha, \beta \lt2\).
Uma matriz de payoffs formada a partir de tais contratos seria então:

\begin{array}{c} X=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1-\alpha & 1-\beta\\1 & 2 & 1-\alpha & 2-\beta\\ 2 & 1 & 2-\alpha & 1-\beta\\ 2 & 2 & 2-\alpha & 2-\beta \end{bmatrix} \end{array}

Subtraindo a primeira linha da segunda e a terceira da quarta, obtemos:
\begin{array}{c} X=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1-\alpha & 1-\beta\\0 & 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 2-\alpha & 1-\beta\\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{array}
Que por ter duas linhas iguais tem o posto menor do que \(4=S\)

Resposta ex3:
Vamos mostrar com um exemplo que é possível completar esse mercado. Para isso, é necessário criar um novo ativo \(a_{3}\) que seja uma combinação linear de \(a_{1}\) e \(a_{2}\) e dele extrair os contratos de opções de compra.
Seja \(a_{3}=2a_{1}+a_{2}\). Então:

\[ a_{3}=2\begin{bmatrix} 1\\ 1 \\2\\2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1\\ 2 \\1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3\\ 4 \\5\\6\end{bmatrix} \]
derivando então três contratos de opção e formando uma nova matriz de payoffs:

\[\begin{array}{c} c(a_{3},3)=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\2\\3\end{bmatrix} \end{array} ; \begin{array}{c} c(a_{3},4)=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\1\\2\end{bmatrix} \end{array};\begin{array}{c} c(a_{3},5)=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\0\\1\end{bmatrix} \end{array}\]

\begin{array}{c} X=\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 & 0\\4 & 1 & 0 & 0\\ 5 & 2 & 1 & 0\\ 6 & 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \end{array}

Essa matriz tem posto \(4=S\), pois podemos operar em suas linhas e obter:
\begin{array}{c} \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{array}

Assim, criamos uma carteira com a combinação linear dos ativos \(a_{1}\) e \(a_{2}\), derivamos contratos de opção e conseguimos completar o mercado.

comentou Nov 3 por Renata Oliveira (11 pontos)  
Muito interessante ver como o instrumento da opção pode completar os mercados! Os exemplos que tu colocaste ajudam bastante a entender. Na tua resposta do primeiro exercício, acho que o primeiro contrato de opção c(ã_1, 1) é [3 2 0], e não [3 2 1]!
comentou Nov 9 por Felipe Yudi (21 pontos)  
Obrigado pela dica! Já foi corrigido.
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