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Equilíbrio com direitos contingentes e mercados de securities

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perguntada Out 1 em Economia por Renata Oliveira (11 pontos)  

Adaptado de "Asset Pricing for Dynamic Economies" de Sumru Altug e Pamela Labadie (2008), Capítulo 1, exercício 3.

Considere um modelo de dois períodos com incerteza e um único bem. A incerteza é resolvida no segundo período. Seja \(c_0^i\) o consumo no período zero e \(c_{s}^i\) o consumo no período seguinte contingente na ocorrência do estado s, \(s \in (1,...,S)\). Suponha que as preferências satisfazem a utilidade esperada dada por

\[ u_i(c^i) = U_i(c_0^i) + \sum_{s=1}^{S} \pi_s^i V_i(c_{1,s}^i) \]

onde \(\pi_s^i>0\) denota a probabilidade de ocorrer o estado s no período seguinte, e \(U_i\) e \(V_i\) são funções estritamente crescentes, estritamente côncavas e diferenciáveis.

(a) Caracterize o equilíbrio com direitos contingentes (alocação e preços).

(b) Caracterize o equilíbrio no mercado de securities.

(c) Sob quais condições o equilíbrio com securities replica o equilíbrio com direitos contingentes.

(d) Suponha que as preferências em cada período tomem a forma

\[ U(c) = V(c) = \frac{c^{1-\gamma}-1}{1 - \gamma}, \gamma \geq 0, \gamma \neq1 \]

Suponha também que as condições sob as quais o equilíbrio com securities pode ser usado para replicar o equilíbrio com direitos contingentes existem. Mostre que os preços dos ativos no equilíbrio do mercado de securities podem ser expressos em termos do consumo médio definido por \(\bar c_{s} = 1/I \sum_{i=1}^{I} c_{s}^i\).

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1 Resposta

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respondida Out 1 por Renata Oliveira (11 pontos)  

(a)

Considere uma economia com I consumidores. Cada consumidor i = 1, ..., I associa uma probabilidade \(\pi_s^i\) para a ocorrência do estado s, de modo que \(\sum_{s=1}^{S} \pi_s^i = 1\). Há apenas um bem. O consumidor recebe uma dotação \(w_{s}^i\), dependendo da ocorrência do estado s. Dizemos que uma alocação é factível se, para cada estado s,

\[ \sum_{i=1}^{I} [c_0^i + c_{s}^i] \leq \sum_{i=1}^{I} [w_0^i + w_{s}^i] \]

Suponha que os agentes trocam direitos contingentes: os consumidores assinam contratos que afirmam que, se o estado s ocorrer, o agente i se compromete a transferir parte de sua dotação para o agente j. Como há S estados possíveis e apenas um bem, serão trocados S x 1 direitos contingentes. Para cada estado s, seja \(p_s\) o preço do direito a uma unidade do bem a ser entregue no período seguinte, dada a ocorrência do estado s. O conjunto de preços \(p_s \in \Re_+^S\) é dito um sistema de preços. Os mercados de direitos contingentes nesta economia se abrem antes da revelação do estado s. Posteriormente, a entrega das unidades de consumo é feita de acordo com os contratos fechados no período anterior e o consumo ocorre.

O equilíbrio com direitos contingentes é composto por um sistema de preços \(p \in \Re_+^{S}\) e uma alocação factível \((c^1,...,c^I)\) tais que \(c^i = [ c_{1}^i, ..., c_{S}^i]\) resolve o problema dos consumidores

\[ \max_{c_0^i, c_{s}^i} u_i(c^i) = U_i(c_0^i) + \sum_{s=1}^{S} \pi_s^i V_i(c_{s}^i) \]
sujeito à restrição
\[ c_0^i + \sum_{s=1}^{S} p_s c_{s}^i\leq w_0^i + \sum_{s=1}^{S} p_s w_{s}^i \]

Para resolver o problema de maximização, tome o Lagrangeano

\[ L = U_i(c_0^i) + \sum_{s=1}^{S} \pi_s^i V_i(c_{s}^i) + \lambda_i\left[ \sum_{s=1}^{S} p_s [w_{s}^i - c_{s}^i] +[c_ 0^i - w_0^i] \right] \]

Tomando as condições de primeira ordem em relação a $c0^i$ e $c{s}^i$ temos:

\[ \frac {\partial U_i(c_{0}^i)}{\partial c_{0}^i} = \lambda_i \]
\[ \frac {\partial V_i(c_{s}^i)}{\partial c_{s}^i}\pi_s^i = \lambda_i p_s \]

O preço do direito a uma unidade de consumo contingente à realização do estado s é então dado por
\[ p_s = \frac {\partial V_i(c_{s}^i)}{\partial c_{s}^i}\frac {\pi_s^i}{\lambda_i} = \frac {\partial V_i(c_{s}^i)}{\partial c_{s}^i}\frac {\pi_s^i}{\frac {\partial U_i(c_{0}^i)}{\partial c_{0}^i}} \]

Assumindo que a função V é separável nos estados s, \([U'_i]^{-1}(c_{0}^i)\) e \([V'_i]^{-1}(c_{s}^i)\) existem e podemos utilizar o Teorema da Função Implícita para resolver para \(c_0^i\) e \(c_{s}^i\) :

\[ c_{0}^i = [U\'_i]^{-1} (\lambda_i ) \]
\[ c_{s}^i = [V\'_i]^{-1} (\lambda_i p_s / \pi_s^i) \]

Tomando a restrição orcamentária com igualdade e substituindo o valor de \(c_0^i\) e \(c_{s}^i\) dados pelas expressões acima, temos:

\[ [U\'_i]^{-1} (\lambda_i ) + \sum_{s=1}^{S} p_s [V\'_i]^{-1} (\lambda_i p_s / \pi_s^i) = w_0^i + \sum_{s=1}^{S} p_s w_{s}^i \]

Para cada i, esta equação tem apenas uma variável, \(\lambda_i\), dado o sistema de preços e demais parâmetros. A solução será uma função \(\lambda_i = f^i(p_s)\).

Utilizando a condição de market clearing temos a seguinte equação, como função apenas dos preços e parâmetros:

\[ \sum_{i=1}^{I} [ [U\'_i]^{-1} ( f^i(p_s)) + [V\'_i]^{-1} ( f^i(p_s) p_s / \pi_s^i)] \leq \sum_{i=1}^{I} [w_0^i + w_{s}^i] \]

A partir desta equação obtemos \(p_s\) e com isso encontramos os valores de \(\lambda_i\). De posse dos valores dos multiplicadores, podemos encontrar as alocações \(c_0^i\) e \(c_s^i\)

(b)

Considere uma economia em que há N securities. Cada security n tem payoffs \(x_{n,s}\). Defina X como a matriz de payoffs de dimensão N x S e \(q=[q_1, ... ,q_n]\) o vetor de preços das securities. As securities são vendidas antes da realização do estado s, de modo que os preços independem do estado realizado. Depois que os mercados de securities fecham, os consumidores trocam o bem de consumo em mercados spot. Seja \(\bar p_s\) o preço do bem no estado s. Um portfolio é um vetor \(a^i = [a_1^i, ..., a_N^i]\) cujo valor é \(a^i q\) e payoff é \(X^Ta\).
Cada agente i escolhe um portfolio e um vetor de consumo tais que, dados os preços \((q, \bar p_s)\), resolvem o problema de maximização:

\[ \max_{c_0^i, c_{s}^i, a^i} u_i(\bar c^i) = U_i(c_0^i) + \sum_{s=1}^{S} \pi_s^i V_i(c_{s}^i) \]
sujeito às restrições
\[ a^i q\leq 0, \]
\[ c_0^i + \bar p_s c_s^i \leq w_0^i + \bar p_s w_s^i + a^i x_s \]

onde \(a^i x_s\) é o payoff do portfolio contingente à ocorrêcia do estado s.

O equilíbrio no mercado de securities é um conjunto de porfolios e consumo \( [(a^1, c^1), ..., (a^I, c^I)]\) e um sistema de preços \((q, \bar p_s)\) tais que: (a) dados os preços, a alocação \((a^i, c^i)\) resolve o problema de maximização do consumidor i; (b) as condições de market clearing são satisfeitas, ou seja, \( \sum_{i=1}^{I} a_n^i = 0\) para todas as n securities e \( \sum_{i=1}^{I} [c_0^i + c_{s}^i - w_0^i - w_{s}^i] = 0\) para todo estado s.

(c)

Se o número de securities for igual ao número de estados da economia, N = S, então a alocação de equilíbrio com direitos contingentes pode ser obtida a partir do equilíbrio no mercados de securities. \par
Seja \((c^1, ..., c^I, p)\) o conjunto de alocações e preços do equilíbrio com direitos contingentes. Suponha que N = S e que as colunas da matriz de payoffs X são linearmente independentes. Denote o vetor de payoffs da security n, \(x_{n,s}\), como

\[ x_{n,s} = \begin{cases} 1 & \text{se } s = n \\ 0 & \text{caso contrário} \end{cases} \]

para s = 1, ..., S e n = 1, ..., S. Defina o preço da security s como \(p_s = q_s \bar p_s\) para todo s. Note que o consumidor que toma como dados estes preços possui o mesmo conjunto de possibilidades sob o equilíbrio com direitos contingentes. Definindo o portfolio de modo que a quantidade da security s que o consumidor i adquire é igual ao custo do consumo líquido da dotação de i no estado s, \(a_s^i = \bar p_s (c_{s}^i - w_{s}^i)\), então a alocação \((a^i, c^i)\) deve ser factível ao consumidor i no equilíbrio no mercado de securities. Então, dado que \((c^1, ..., c^I, p)\) constitui um equilíbrio com direitos contingentes:

\[ a^i q = \sum_{s=1}^{S} (p_s/ \bar p_s) \bar p_s [c_{s}^i - w_{s}^i] = \sum_{s=1}^{S} p_s [c_{s}^i - w_{s}^i] \leq 0 \]

Além disso, visto que \(x_{n,s} = 1\) se s=n,

\[ \bar p_s \bar c_{s}^i = \bar p_s w_{s}^i+a^i x_s = \bar p_s w_{s}^i+a_s^i \]

Desta forma, dados os preços \((q, \bar p)\), a alocação \((a^i, c^i)\) satisfaz a restrição orçamentária do consumidor do equilíbrio no mercado de securities.

Os mercados spot satisfazem a condição de market clearing pois a alocação é factível. Os mercados de securities satisfazem a condição de market clearing pois

\[ \sum_{i=1}^{I} a_s^i = \sum_{i=1}^{I} \bar p_s[ c_{s}^i - w_{s}^i] = \bar p_s \sum_{i=1}^{I}[c_{s}^i - w_{s}^i] = 0 \]

dado que a alocação é factível no equilíbrio com direitos contingentes.

(d)

Para encontrar os preços dos ativos no equilibrio no mercado de securities, recisamos resolver o problema do consumidor. Faça \(\bar p_s = 1\).

\[ \max_{c_0^i, c_{s}^i, a^i} u_i(c^i) = \frac{c_0^{i1-\gamma}-1}{1 - \gamma} + \sum_{s=0}^{S} \pi_s^i \frac{ c_{s}^{i1-\gamma}-1}{1 - \gamma} \]
sujeito às restrições
\[ \sum_{n=1}^N a_n^i q_n \leq 0, \]
\[ c_0^i + c_{s}^i \leq w_0^i + w_{s}^i+ \sum_{n=1}^N a_n^i x_{n,s} \]

O Lagrangeano é

\[ L = \frac{c_0^{i1-\gamma}-1}{1 - \gamma} + \sum_{s=1}^{S} \pi_s^i \frac{c_{s}^{i1-\gamma}-1}{1 - \gamma} \]
\[ +\lambda_s^i \left[ \sum_{s=1}^{S} [w_0^i + w_{s}^i + \sum_{n=1}^N a_n^i x_{n,s} - c_0^i - c_{s}^{i}] \right] + \mu^i \left[\sum_{n=1}^N a_n^i q_n\right] \]

onde \(\lambda_s^i\) e \(\mu^i\) são os multiplicadores associados às restrições. As CPO em relação a \(c_0^i\), \(c_{s}^i\) e \(a_n^i\) são, respectivamente

\[ c_{0}^{i-\gamma} = \lambda_s^i \]
\[ c_{s}^{i-\gamma} \pi_s^i = \lambda_s^i \]
\[ \mu^i q_n = \lambda_s^ix_{n,s} \]

Substituindo \(\lambda_s^i\) da primeira na segunda equação

\[ c_{s}^{i-\gamma} \pi_s^i = c_{0}^{i-\gamma} \]
\[ c_{s}^{i} = c_{0}^{i} (\pi_s^i)^{1/\gamma} \]

Substituindo \(\lambda_s^i\) da primeira na terceira equação

\[ q_n =\frac{\lambda_s^ix_{n,s}}{\mu^i } =\frac{c_{0}^{i-\gamma} x_{n,s}}{\mu^i } \]

A restrição orçamentária com igualdade é tal que

\[ \sum_{n=1}^N a_n^i x_{n,s} = c_0^i + c_{s}^i - w_0^i - w_{s}^i \]

Substituindo \(c_{s}^{i} = c_{0}^{i} (\pi_s^i)^{1/\gamma}\):

\[ \sum_{n=1}^N a_n^i x_{n,s} = c_0^i + c_{0}^{i} (\pi_s^i)^{1/\gamma} - w_0^i - w_{s}^i \]

\[ \sum_{n=1}^N a_n^i x_{n,s} = [1+(\pi_s^i)^{1/\gamma}]c_0^i - w_0^i - w_{s}^i \]

A partir desta última equação, encontramos \(a_n^i\) como função de \(c_0^i\) e dos demais parâmetros: \(a_n^i = f^i (c_0^i)\). A partir da condição de market clearing é possível encontrar os valores de \(c_0^i\):

\[ \sum_{i=1}^{I} a_n^i = \sum_{i=1}^{I} f^i (c_0^i) = 0 \]

Dado \(c_0^i\), podemos então encontrar as alocações \(c_s^i\) e os preços das securities \(q_n\).

comentou 2 dias atrás por Fernanda Amorim (11 pontos)  
Renata, o exercício ficou muito bem feito e detalhado. Como os passos estão bem descritos, é possível entender com clareza a respeito do equilíbrio com direitos contingentes e mercado de securities. Só acrescento um comentário acerca da programação de algumas funções no latex que ficaram desconfiguradas na letra (a):  $c0^i$, $c{s}^i$ e as aspas simples no U e V .
comentou 2 dias atrás por Renata Oliveira (11 pontos)  
Obrigada pelas observações! Infelizmente não encontrei um espaço para editar a resposta, mas da próxima vez terei mais cuidado!
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