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Condições de não arbitragem e completude de mercados

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perguntada Out 2 em Economia por Renata Oliveira (6 pontos)  
editado Out 30 por Renata Oliveira

Suponha uma economia em que haja dois ativos 1 e 2 e dois estados da natureza: o ativo 1 tem preço \(p_1 = 1/1+r \) e payoff \(x_1 = (a,a)\). O ativo 2 tem preço \(p_2 = 1\) e payoff \(x_2 = (1-b, 1+b)\).

(a) Defina ausência de oportunidades de arbitragem. Use essa definição para determinar em que condições haverá oportunidades de arbitragem.

(b) Em que condições os mercados são completos?

(c) Em que condições os mercados são incompletos?

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1 Resposta

0 votos
respondida Out 2 por Renata Oliveira (6 pontos)  

(a)

Com base nas informações da questão, seja X a matrix de payoffs e p o vetor de preços dos ativos dados por.
\[ X = \begin{bmatrix} a & (1-b) \\ a & (1+b) \end{bmatrix} p = \begin{bmatrix} 1/1+r\\ 1 \end{bmatrix} \]

Defina uma carteira como um vetor coluna h que representa as quantitdades de cada um dos ativos. No presente caso,

\[ h = \begin{bmatrix} h_1\\ h_2 \end{bmatrix} \]

O payoff de uma carteira h é uma combinação linear dos payoffs dos ativos, ponderados pelas quantidades da carteira, ou seja, é igual a

\[ Xh = h_1 \begin{bmatrix} a \\ a \end{bmatrix} + h_2 \begin{bmatrix} (1-b) \\ (1+b) \end{bmatrix} \]

O preço de uma carteira h é dado por

\[ p.h = p_1 h_1 + p_2 h_2 \]

Uma arbitragem é uma carteira h cujo payoff é \(Xh \geq 0\) e preço é \(p.h \leq 0\), com pelo menos uma desigualdade estrita. No caso em questão, para que haja arbitragem é preciso que o sistema a seguir tenha solução

\[ a h_1 + (1-b)h_2 \geq 0 \]
\[ a h_1 + (1+b)h_2 \geq 0 \]
\[ (1/1+r)h_1 + h_2 \leq 0 \]

Pelo Lema de Farkas, exatamente uma das seguintes alternativas é válida:
(1) A desigualdade \(Xh \geq 0\) tal que \(p.h < 0\) tem uma solução \(h \in \Re^2\)
(2) A equação \(X'q = p\) tem uma solução não-negativa \(q\in\Re^2\)
Ou seja, ou há ou não há oportunidades de arbitragem. Para testar, tome a segunda alternativa:

\[ a q_1 + a q_2 = 1/1+r \]
\[ (1-b)q_1 + (1+b)q_2 = 1 \]

Da primeira equação:

\[ q_1 = \frac{1}{a(1+r)} - q_2 \]

Substituindo na segunda equação e rearranjando os termos obtemos

\[ q_2 = \frac{1}{2b} -\frac{(1-b)}{2ba(1+r)} \]

Substituindo na expressão para \(q_1\) e rearranjando os termos encontramos

\[ q_1 = \frac{b - a(1+r)}{2ba(1+r)} \]

Para que \(q_1\) e \(q_2\) sejam não-negativos, é preciso ter

\[ \frac{b - a(1+r)}{2ba(1+r)} \geq 0 \]
e
\[ \frac{1}{2b} -\frac{(1-b)}{2ba(1+r)} \geq 0 \]

Da primeira condição, simplificando:

\[ \frac{b}{(1+r)} \geq a \]

Da segunda condição,
\[ a \geq \frac{(1-b)}{(1+r)} \]

Ou seja, desde que

\[ b \geq a(1+r) \geq (1-b) \]

não haverá oportunidade de arbitragem.

Como exemplo, suponha que \(b = 0.7\), \(a = 0.5\) e \(r = 0.1\). Note que estes valores satisfazem a condição:

\[ 0.7 \geq 0.55 \geq 0.3 \]

A única solução para o sistema

\[ 0.5 h_1 + 0.3h_2 \geq 0 \]
\[ 0.5h_1 + 1.7h_2 \geq 0 \]
\[ 0.9h_1 + h_2 \leq 0 \]

é a solução trivial, mas neste caso não teríamos pelo menos uma desigualdade estrita, como exige a definição de arbitragem.

Como contraexemplo, suponha que \(b = 0.3\), \(a = 0.5\) e \(r = 0.1\). Estes valores não satisfazem às condições de não arbitragem derivadas acima. É possível então montar uma carteira cujo payoff é positivo e que tenha preço negativo. Tome, por exemplo, a carteira \(h^a = [-1.4; 1.1]\). Fazendo as contas:

\[ 0.5(-1.4) + 0.7(1.1) = 0.07>0 \]
\[ 0.5(-1.4) + 1.3(1.1) = 0.73>0 \]
\[ 0.9(-1.4) + 1.1 = -0.16 < 0 \]

A carteira \(h^a\) é uma arbitragem

(b)

O conjunto de todos os payoffs disponíveis no mercado de ativos é um subespaço gerado pelos payoffs dos ativos deste mercado. Como temos dois ativos:

\[ M = \{z\in \Re^2 : z = Xh \text{ para algum } h\in\Re^2\} \]

Um mercado é dito completo se \(M = \Re^2\), ou seja, se os payoffs dos ativos são capazes de gerar qualquer payoff no \(\Re^2\). Para que isso ocorra, é preciso que a matriz de payoffs X tenha posto igual a 2, ou seja, que os dois vetores de payoffs sejam linearmente independentes. Considerando a matriz do problema, ela possuirá posto igual a dois se a únicao solução para o sistema abaixo for a solução trivial \(x_1 = x_2 = 0\)

\[ \begin{bmatrix} a & (1-b) \\ a & (1+b) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]

Nota-se que, exceto quando b = 0, a única solução para o sistema é a trivial. Assim, o mercado será completo desde que b não seja nulo.

(c)

Conforme o exposto em (b), sempre que b for diferente de zero os mercados serão completos. Note que se b = 0 as colunas da matriz de payoffs são múltiplas uma da outra (os vetores de payoff são colineares), de forma que só é possível gerar payoffs do tipo \((\alpha, \alpha)\). Caso contrário, qualquer vetor do \(\Re^2\) pode ser formado pela combinação linear dos dois vetores de payoff. Logo o span da matriz de payoffs é igual a \(\Re^2\) e, portanto, os mercados são completos.

comentou Out 30 por danielcajueiro (5,776 pontos)  
O titulo ficaria melhor como "Condicoes de nao arbitragem e completude de mercados" Ou algo similar.
comentou Out 30 por Renata Oliveira (6 pontos)  
Obrigada! fiz a alteração
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